UVA 11768 - Lattice Point or Not

首先本题需要用到扩展欧几里得算法……

关于exgcd算法的一点简略证明：



那么，对于函数exgcd(a,b)=(d,x,y)，其中d满足d=gcd(a,b); (x,y)满足ax+by=d;

则exgcd(b,a mod b)=(d,x',y')，而此时，使用 x = y' ;  y = x' - floor(a/b) * y' = x' - floor(a/b) * x 就能得到exgcd(a,b)的值。

故我们可以有扩展欧几里得算法如下：

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
if(!b){d=a;x=1;y=0;}
else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=(a/b)*x;}
}

此处的边界条件是exgcd(a,0)=(a,1,0)

那么此时，若c mod gcd(a,b) = 0，就容易求得一个整点(x,y)，那么如何得到所有的点？



然后是题目的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
typedef long long ll;
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
if(!b){d=a;x=1;y=0;}
else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=(a/b)*x;}
}
int main() {
double X1,Y1,X2,Y2;
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%lf%lf%lf%lf",&X1,&Y1,&X2,&Y2);//获得初始坐标(x1,y1),(x2,y2)
ll x1=X1*10,x2=X2*10,y1=Y1*10,y2=Y2*10;//将坐标都换成整型
if(x1==x2)//如果这条线是一条竖直的线
{
if(x1%10!=0){//如果此时的直线l:x=c，c不是整数，那么这条线上显然没有整点
printf("0\n");
continue;
}
y2=floor(max(Y1,Y2));
y1=ceil(min(Y1,Y2));
printf("%lld\n",y2-y1+1);
continue;
}
if(y1==y2)//如果这条线是一条水平的线
{
if(y1%10!=0){//如果此时的直线l:y=c，c不是整数，那么这条线上显然也没有整点
printf("0\n");
continue;
}
x2=floor(max(X1,X2));
x1=ceil(min(X1,X2));
printf("%lld\n",x2-x1+1);
continue;
}
ll a=(y2-y1)*10,b=(x1-x2)*10,c=x1*y2-x2*y1;//计算出l:ax+by=c
ll x,y,d;
if(X2<X1) swap(X2,X1);//确保x2>x1
x1=ceil(X1),x2=floor(X2);
if(x1>x2){//如果一条线的斜率过大，使得x1,x2有m<x1<x2<m+1 (m为整数)，那么显然这个范围内没有整点
printf("0\n");
continue;
}
ll k=0;
exgcd(a,b,d,x,y);//得到满足ax+by=gcd(a,b)的(x0,y0)
if (c%d==0)//如果c是gcd(a,b)的整数倍，即c = k * gcd(a,b)，那么显然点( k * x0 , k * y0 )是ax+by=c上的一个整点
{
a/=d,b/=d;
x*=c/d,y*=c/d;
if(b<0) b=-b;
x=x-(x-x1)/b*b;
while(x<x1) x+=b;
while(x+k*b<=x2) k++;
printf("%lld\n",k);
}
else printf("0\n");
}
return 0;
}