51nod_1002_数塔取数问题

题目

原题链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1002

题目描述：

一个高度为N的由正整数组成的三角形，从上走到下，求经过的数字和的最大值。

每次只能走到下一层相邻的数上，例如从第3层的6向下走，只能走到第4层的2或9上。

5

8 4

3 6 9

7 2 9 5

例子中的最优方案是：5 + 8 + 6 + 9 = 28

Input:

第1行：N，N为数塔的高度。(2 <= N <= 500)

第2 - N + 1行：每行包括1层数塔的数字，第2行1个数，第3行2个数……第k+1行k个数。

数与数之间用空格分隔（0 <= A[i] <= 105) 。

Output:

输出最大值

解题思路

自底向上

从上往下走，只有两种选择，所以所有可能的路的条数可以用一个二叉树来表示。如下图：



图1 路径的所有可能数

从图1很容易的能够看出来，要想整个路径达到最大，就要5加上它左右节点到叶子节点较大的一个，

即 res = 5 + max(left, right)。由此我们就可以递归地求解。

res f(root) {
if (leaf)
return leaf;
else
return root + max(left, right);
}

但是我们可以发现，在整个递归过程中，重复计算了很多节点。如图6中，节点6出现了

两次，层数越多，重复计算的就越多，会导致指数级的时间复杂度。

我们可以用额外的空间来保存已经计算过的子树的最大值，当再次访问到相同的节点时，

就不用继续递归，直接返回值。

res fun(root) {
if (leaf)
return leaf;
if (root in the table)
return max of root;
else {
table[root] = root + max(left, right);
return table[root];
}
}

自顶向下

这种思路就是从上往下，计算出顶部到达某一层每个节点的路径长度，保存到数组中，

然后以此层路径长度计算下一层路径长度，直到最底层。最后顶层到所有叶子节点的

最长路径都计算出来，只需找到其中的最大值就行。

代码

自底向上

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef int DataType;

DataType data[505][505];//原数据
DataType table[505][505];//记录计算的值

int n = 0;

DataType max(DataType a, DataType b) {
return a > b ? a : b;
}

DataType dp(int i, int j) {
if (i > n) {
return 0;
}
if (table[i][j] != 0) {
return table[i][j];
} else {
table[i][j] =  max(dp(i + 1, j), dp(i + 1, j + 1)) + data[i][j];
return table[i][j];
}
}

int main() {
scanf("%d", &n);
int i, j;
for(i = 2;i <= n;i++) {
for(j = 1;j <= i;j++) {
scanf("%d", &data[i][j]);
}
}
DataType res = dp(0, 0);
printf("%d\n", res);
return 0;
}

自顶向下

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef int DataType;

DataType max(DataType a, DataType b) {
return a > b ? a : b;
}

DataType dp[505];

int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
scanf("%d", dp + 1);//第一层

int i, j, x, m;
for (i = 2;i <= n;i++) {
DataType a = 0;
for (j = 1;j <= i;j++) {
scanf("%d", &x);
m = max(dp[j], dp[j-1]) + x;// 根据上一层计算到达x节点的最大值
dp[j-1] = a;// 更新dp[j-1]，此时dp[j-1]保存的是当前层对应节点的最大值
a = m;
}
dp[i] = a; //当前层的最后一个节点
}

// 遍历保存的值，找出最大
DataType res = dp[1];
for (i = 2;i <= n;i++) {
if (res < dp[i]) {
res = dp[i];
}
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}