[bzoj4671]异或图

题目描述

定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与

G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中.

现在给定 s 个结点数相同的图 G1…s, 设 S = {G1, G2, … , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异

或为一个连通图?

斯特林反演

用贝尔数的时间来枚举子集划分。

规定被划分到不同子集的之间一定无边，在同一个子集则没有约束。

考虑求它的方案数。

那么就是要求自由元数量。

可以考虑维护线性基。

求出自由元数量k，就是2^k。

容斥系数怎么定？

假设划分为m个子集，容斥系数即为(−1)m−1∗(m−1)!

假设一个图有n个联通块，它会被计算多少次？

∑nm=1(−1)m−1∗(m−1)!∗S(n,m)

S表示第二类斯特林数。

可以证明，n=1时也就是图联通时它为1，否则它为0。

那就刚好是答案！

如何证明？

首先n=1时答案成立，接下来证明n>=2时它为0。

比较懒贴一份草稿

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxs=60+10,maxn=10+10;
ll fac[maxn],two[maxs],t,ans;
int co[maxn];
ll eq[maxs];
bool dis[maxs][maxn][maxn];
int i,j,k,l,n,m,s,len,top,tot;
char h[maxn*maxn];
int read(){
char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'1') ch=getchar();
return ch-'0';
}
void dfs(int x,int m){
if (x==n+1){
int i,j,k;
top=0;
fo(i,1,n-1)
fo(j,i+1,n)
if (co[i]!=co[j]){
t=0;
fo(k,1,s)
if (dis[k][i][j]) t+=two[k-1];
fo(k,1,top)
if ((t^eq[k])<t) t^=eq[k];
if (t) eq[++top]=t;
}
ans+=fac[m-1]*two[s-top];
return;
}
int i;
fo(i,1,m+1){
co[x]=i;
dfs(x+1,m+(i>m));
}
}
int main(){
freopen("graph.in","r",stdin);freopen("graph.out","w",stdout);
scanf("%d",&s);
scanf("%s",h+1);
len=strlen(h+1);
fo(n,1,10)
if (n*(n-1)/2==len) break;
t=0;
fo(i,1,n-1)
fo(j,i+1,n)
dis[1][i][j]=h[++t]-'0';
fo(k,2,s)
fo(i,1,n-1)
fo(j,i+1,n)
dis[k][i][j]=read();
fac[0]=two[0]=1;
fo(i,1,n) fac[i]=-(ll)fac[i-1]*i;
fo(i,1,s) two[i]=two[i-1]*2;
dfs(1,0);
printf("%lld\n",ans);
}