I have a date with Algorthim - 分治之二分搜索

I have a date with Algorthim

定义:

在计算机科学中, 二分搜索(binary search), 也称折半搜索(half-interval search)、对数搜索(logarithmic search), 是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法.

搜索过程从数组的中间元素开始, 如果中间元素正好是要查找的元素, 则搜索过程结束;

如果某一特定元素大于或者小于中间元素, 则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找,而且跟开始一样从中间元素开始比较.

如果在某一步骤数组为空, 则代表找不到.(也就代表遍历完整个数组也没有找到这个元素).

这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半.



解析步骤:

给予一个包含n个带值元素的数组A或是记录

A0 ... An−1

, 使得

A0 ≤ ... ≤ An−1

(有序数组), 以及目标值

T

，还有下列用来搜索T在A中位置的子程序.

a. 令

L

为0,

R

为n− 1.

b. 如果

L > R

, 则搜索以失败告终.

c. 令

m

(中间值元素)为

(L + R) / 2

加上下高斯符号.

d. 如果

Am < T

, 令L为m + 1并回到步骤二.

e. 如果

Am > T

, 令R为m - 1并回到步骤二.

f. 当

Am = T

, 搜索结束: 回传值m.

这个迭代步骤会持续通过两个变量追踪搜索的边界.

有些实际应用会在算法的最后放入相等比较, 让比较循环更快, 但平均而言会多一层迭代.

这时候需要联想分治的思想, 分解的

子问题

之间

相互独立

且与

原问题的形式相同

.

最重要的就是

子问题的合并

可以得到原问题的解.

大致匹配:

以上程序只适用于完全匹配, 也就是查找一个目标值的位置.

不过,因为有序数组的顺序性,将二分搜索算法扩展到能适用大致匹配并不是很重要.

举例来说, 二分搜索算法可以用来计算一个赋值的排名(或称秩, 比它更小的元素的数量)、前趋(下一个最小元素)、后继(下一个最大元素)以及最近邻.

搜索两个值之间的元素数目的范围查询可以借由两个排名查询(又称秩查询)来运行.

排名查询可以使用调整版的二分搜索来运行.

借由在成功的搜索回传

m

, 以及在失败的搜索回传

L

, 就会取而代之地回传了比起目标值小的元素数目.

前趋

和

后继

查询可以借由排名查询来运行.

一旦知道目标值的排名, 其前趋就会是那个位于其排名位置的元素(因为它是小于目标值的最大元素).

其后继是(数组中的)下一个元素, 或是（非数组中的）前趋的下一个元素.

目标值的最近邻可能是前趋或后继, 取决于何者较为接近.

范围查询也是直接了当的.

一旦知道两个值的排名,

不小于第一个值且小于第二个值的元素

数量就会是两者排名的差.

这个值可以根据范围的端点是否算在范围内, 或是数组是否包含其端点的对应键来增加或减少1.

复杂度分析:

时间复杂度

折半搜索每次把搜索区域减少一半, 时间复杂度为 O(log n).(n代表集合中元素的个数)

空间复杂度

O(1).

虽以递归形式定义, 但是尾递归, 可改写为循环.

示例代码:

// 递归版本
int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
if (start > end) // 上面的L > R
return -1;
int mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法
if (arr[mid] > khey)
return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);
if (arr[mid] < khey)
return binary_search(arr, mid + 1, end, khey);
return mid; //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
}

// while循环
int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {
int mid;
while (start <= end) {
mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法
if (arr[mid] < khey)
start = mid + 1;
else if (arr[mid] > khey)
end = mid - 1;
else
return mid; //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於
}
return -1;
}

//javascript版本
Array.prototype.binary_search = function(low, high, khey) {
if (low > high)
return -1;
var mid = parseInt((high + low) / 2);
if (this[mid] > khey)
return this.binary_search(low, mid - 1, khey);
if (this[mid] < khey)
return this.binary_search(mid + 1, high, khey);
return mid;
};

# python版本
def binary_search(arr,start,end,hkey):
if start > end:
return -1
mid = start + (end - start) / 2
if arr[mid] > hkey:
return binary_search(arr, start, mid - 1, hkey)
if arr[mid] < hkey:
return binary_search(arr, mid + 1, end, hkey)
return mid

//c#版本
static int binary_search(int[] arr, int start, int end, int khey)
{
int mid;
while (start <= end)
{
mid = (start + end) / 2;
if (arr[mid] < khey)
start = mid + 1;
else if (arr[mid] > khey)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}

JackDan9 Thinking.

JackDan9 with Algorthim.

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