数论--唯一分解定理及代码实现
2017-04-21 14:54
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唯一分解定理,及证明?
看《什么是数学》有讲一个算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数均可写为质数的积,而且这些素因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。看了半天还是不太明白是怎么证明的。贴一段转来的,终于看懂了(转自:《什么是数学》读书笔记(一):反证法、数学归纳法与唯一分解定理)
为了真正地证明,分解质因数的方法是唯一的,我们将再次用到反证法。假设存在某些数,它们有至少两种分解方法。那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”,一定有一个最小的数M,它能用至少两种方法表示成质数的乘积:
M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs
下面我们将看到,这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。不妨设P1 <= P2 <= … <= Pr, Q1 <= Q2 <= … <= Qs。显然,P1是不等于Q1的,不然两边同时约掉它,我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。不妨设P1 < Q1,那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1,得到一个比M更小的数T = P1 * Q2 * Q3 * … * Qs。令M’ = M – T,我们得到M’的两种表达:
M’ = (P1 * P2 * … * Pr) – (P1 * Q2 * … * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr – Q2 * … * Qs) …… (1)
M’ = (Q1 * Q2 * … * Qs) – (P1 * Q2 * … * Qs) = (Q1 – P1) * Q2 * … * Qs ……………… (2)
由于T比M小,因此M’是正整数。从(1)式中我们立即看到,P1是M’的一个质因子。注意到M’比M小,因此它的质因数分解方式应该是唯一的,可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小,因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q,于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着,(Q1-P1)/P1除得尽,也就是说Q1/P1-1是一个整数,这样Q1/P1也必须得是整数。我们立即看出,P1必须也是Q1的一个因子,这与Q1是质数矛盾了。这说明,我们最初的假设是错误的。
假设x是一个正整数,它的值不超过65535(即1< x <= 65535),请编写一个程序,将x分解为若干个素数的乘积。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int a[10000],c,n,t; int main() { scanf("%d",&t); //t组测试数据 while(t--) { scanf("%d",&n); c=0; for(int i=2;i<=n;i++) { while(n%i==0) { a[c++]=i; n/=i; } } for(int i=0;i<c;i++) { printf(i==0?"%d":"*%d",a[i]); } printf("\n"); } return 0; }
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