计算机图形学（七）Bezier（贝塞尔）曲线讲解与源代码

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“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre
Bézier所发明，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。

算法的基本原理：

贝塞尔曲线贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。注意，贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。

以下公式中：B(t)为t时间下 点的坐标；

P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线(线段)：





意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段

二阶贝塞尔曲线(抛物线)：





原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。

由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。

由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

经验：P1-P0为曲线在P0处的切线。

三阶贝塞尔曲线：





通用公式：



高阶贝塞尔曲线：

4阶曲线：



5阶曲线：



代码：

typedef struct
{
double x;
double y;
}DPoint;
DPoint points[100];

void CBezierView::DrawBzier(DPoint * p)
{
if (n<= 0)
return;
if((p
.x<p[0].x+1)&&(p
.x>p[0].x-1)&&(p
.y<p[0].y+1)&&(p
.y>p[0].y-1))
{
pDC->SetPixel(p[0].x, p[0].y, RGB(0,0,255));
return;
}
DPoint *p1;
p1 = new DPo
bcaf
int[n+1];
int i, j;
p1[0] = p[0];
for(i=1; i<=n; i++)
{
for(j=0; j<=n-i;j++)
{
p[j].x = (p[j].x + p[j+1].x)/2;
p[j].y = (p[j].y + p[j+1].y)/2;
}
p1[i] = p[0];
}
DrawBzier(p);
DrawBzier(p1);
delete p1;
}

可以看出代码是使用递归的算法，找中点，然后在达到

if((p
.x<p[0].x+1)&&(p
.x>p[0].x-1)&&(p
.y<p[0].y+1)&&(p
.y>p[0].y-1))

的情况下留下该点，然后当所有的点都出来之后就是贝赛尔曲线了。

实现的图片



其中点击ADD可以增加点，最多99个，点击MOVE可以移动点。

代码很简单，理解也不难。

如果有什么问题，还望指出。谢谢