平面中能否写下不可数个8?——一个有趣的数学问题
2017-04-20 17:33
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问题源于33IQ,感谢杭电理学院王老师的帮助和 Matrix67:
The Aha Moments 的文章提供思路。
无限个8?
要弄清楚这个问题,首先要明白数学中“可数、不可数”的概念。这里的“可数不可数”与“有限无限”是不一样的,可数是指可以一个个数出来,即用整数进行编号,而与是否有限并无关系。有限的数集一定是可数的,而无限的数集未必就是不可数的。比如正整数序列1,2,3...,随你指定一个数,我们从1开始一个个的数下去,总能数到那个数,谓之可数。
“对于任意一个 8 字形,在两个洞里各取一个有理点 P 、 Q (由于平面上的有理点是稠密的,这是总能办到的),则称这个 8 字形圈住了有理点对 (P, Q) 。注意到由于 8 字形不能相交,因此两个 8 字形不可能圈住同一对有理点。由于平面上的有理点对是可数的,因此 8 字形的数量也是可数的。”
所以为什么有理数对是可数的呢?这里需证有理数是可数的。此处引入康托的对角论证法证明有理数可数而无理数不可数
有理数的“数法”,用这种方法,易知我们总能数到你想数到的某个数。因此有理数是可数的
对于无理数(以0~1之间为例),如果我们构造一个无理数,令其小数点后第一位与第一个数不同,第二位与第二个数不同......总存在不在{r}的数,因此你指定的数是怎么也数不到的,(0,1)区间如此,遑论全体无理数,因而无理数不可数。
到这里,“有理数可数”这条结论就很清楚了,那么能不能画出不可数个“8”自然也就很明了咯。
The Aha Moments 的文章提供思路。
无限个8?
要弄清楚这个问题,首先要明白数学中“可数、不可数”的概念。这里的“可数不可数”与“有限无限”是不一样的,可数是指可以一个个数出来,即用整数进行编号,而与是否有限并无关系。有限的数集一定是可数的,而无限的数集未必就是不可数的。比如正整数序列1,2,3...,随你指定一个数,我们从1开始一个个的数下去,总能数到那个数,谓之可数。
“对于任意一个 8 字形,在两个洞里各取一个有理点 P 、 Q (由于平面上的有理点是稠密的,这是总能办到的),则称这个 8 字形圈住了有理点对 (P, Q) 。注意到由于 8 字形不能相交,因此两个 8 字形不可能圈住同一对有理点。由于平面上的有理点对是可数的,因此 8 字形的数量也是可数的。”
所以为什么有理数对是可数的呢?这里需证有理数是可数的。此处引入康托的对角论证法证明有理数可数而无理数不可数
有理数的“数法”,用这种方法,易知我们总能数到你想数到的某个数。因此有理数是可数的
对于无理数(以0~1之间为例),如果我们构造一个无理数,令其小数点后第一位与第一个数不同,第二位与第二个数不同......总存在不在{r}的数,因此你指定的数是怎么也数不到的,(0,1)区间如此,遑论全体无理数,因而无理数不可数。
到这里,“有理数可数”这条结论就很清楚了,那么能不能画出不可数个“8”自然也就很明了咯。
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