leetcode[60]Permutation Sequence 以及 全排列的编码与解码——康托展开 (附完整代码)
2017-04-20 10:45
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leetcode[60]Permutation Sequence C++的代码答案:
class Solution {
public:
string getPermutation(int n, int k) {
assert(k > 0);
string result;
string source_s;
for(int i=1;i<=n;++i){
source_s.push_back('0'+i);
}//源数据,记录全排列每一步还需排列的数字
k--;//康托展开k-1在计算
for(int i =0;i<n;++i){
int temp;
temp = k/jieche(n-i-1);
result.push_back(source_s[temp]);
source_s.erase(temp,1);
k=k%jieche(n-i-1);
}
return result;
}
int jieche(int a){
int jc_res = 1;
for(int i =2;i<=a;i++){
jc_res = jc_res*i;
}
return jc_res;
}
};
一、康托展开:全排列到一个自然数的双射
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai为整数,并且0<=ai<i(1<=i<=n)
适用范围:没有重复元素的全排列
二、全排列的编码:
{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种,将它们从小到大排序,怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个?
如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
这样考虑:第一位是3,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位,小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于32
的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。(注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1)
再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个,0*3!,第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2,1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数,0*1!,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。
又例如,排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884,因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
解释:
排列的第一位是3,比3小的数有两个,以这样的数开始的排列有8!个,因此第一项为2*8!
排列的第二位是5,比5小的数有1、2、3、4,由于3已经出现,因此共有3个比5小的数,这样的排列有7!个,因此第二项为3*7!
以此类推,直至0*0!
如何找出第16个(按字典序的){1,2,3,4,5}的全排列?
1. 首先用16-1得到15
2. 用15去除4! 得到0余15
3. 用15去除3! 得到2余3
4. 用3去除2! 得到1余1
5. 用1去除1! 得到1余0
有0个数比它小的数是1,所以第一位是1
有2个数比它小的数是3,但1已经在之前出现过了所以是4
有1个数比它小的数是2,但1已经在之前出现过了所以是3
有1个数比它小的数是2,但1,3,4都出现过了所以是5
最后一个数只能是2
所以排列为1 4 3 5 2
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:
知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中
1588b
第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回 s 的第 m 个排列。
很显然,康托展开是本文的关键所在。你说康托他老人家当初是怎么想出来这种展开的方法的呢?我们还是以 s=["A", "B", "C"] 为例:
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
他的思路可能是这样的:首先,确定一个目标:将每个排列映射为一个自然数,这个自然数是顺序增长的(或者至少要有一定的规律)。要说映射成自然数,第一个想到的方法自然是把数组的下标当作一个n进制的数字,但是正如本文开篇所讨论的,这个数字并没有什么规律;第二个方法是计数,也就是令 X = 当前排列之前有多少个排列。例如 A B C 是第一个排列,它前面没有任何排列,所以 X(ABC) = 0;A C B 前面有一个排列,所以 X(ACB)
= 1……那么如何才能知道 X(BCA) = 3 也就是 B C A 的前面有3个排列呢?这里的技巧仍然是分解——把问题分隔成相互独立的有限的小块。具体的方法是:先求出 B 第一次出现在最高位(也就是 B A C 这个排列)时前面有几个排列,再求出 B C A 是 B A C 后面第几个排列,把这个两个数相加就是想要的结果了。
先看第一个问题:B 第一次出现在最高位(也就是 B A C 这个排列)时前面有几个排列?由于已知 B A C 前面的排列一定是 A 开头的,所以只有 A 后面的两个元素可以变化,所以排列数是 P(2,2) = 2! 个。
第二个问题:B C A 是 B A C 后面第几个排列?因为都是 B 开头的,所以可以把开头的 B 忽略,问题变成 C A 是 A C 后面的第几个排列?同样,可以先考虑 C 第一次出现在最高位时前面有几个排列,因为 C A 前面的排列肯定是 A 开头的,所以只有 A 后面的一个元素可以变化,所以排列数是 P(1,1) = 1! 个。
所以 X(BCA) = 2! + 1! = 3
再例如想求 X(CBA),同样是先考虑 C 第一次出现在最高位时前面有多少个排列,因为比 C 小的元素有 A 和 B 两个,所以是 2*2! 个。再求出 B A 是 A B 后面的第 1! 个排列。就可以知道 X(CBA) = 2*2! + 1! = 5 了
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