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hihocoder #1445 : 后缀自动机二·重复旋律5

2017-04-20 08:46 489 查看

#1445:后缀自动机二·重复旋律5

时间限制:10000ms
单点时限:2000ms
内存限制:512MB

描述

小Hi平时的一大兴趣爱好就是演奏钢琴。我们知道一个音乐旋律被表示为一段数构成的数列。

现在小Hi想知道一部作品中出现了多少不同的旋律？

解题方法提示

解题方法提示

小Hi：本周的题目其实就是给定一个字符串S，要求出S的所有不同子串的数目。小Ho你知道如何快速求解么？

小Ho：我们最近在讨论后缀自动机，所以肯定是和后缀自动机有关！根据上周学习的SAM的基本概念和性质，SAM的每个状态st都包含了一部分S的子串，记作substrings(st)，并且(1)对于两个不同状态u和v，包含的子串substrings(u)∩substrings(v)=∅;(2)每个子串都恰好被一个状态包含。所以我们只要构造出来S对应的SAM，再对所有状态st求Σ(maxlen(st)-minlen(st))就是子串的数目。

小Hi：没错。上周我们提到SAM有O(length(S))的构造法。这周我们就来讲一讲如何构造。

小Hi：首先，为了实现O(length(S))的构造，我们对于每个状态不能保存太多数据。例如substring(st)肯定是没法保存下来了。对于状态st我们只保存如下数据：

数据含义
maxlen[st]st包含的最长子串的长度
minlen[st]st包含的最短字串的长度
trans[st][]st的转移函数
slink[st]st的SuffixLink
小Hi：其次，我们用增量法构造S对应的SAM。我们从初始状态开始，每次添加一个字符S[1],S[2],...S
，依次构造可以识别S[1],S[1..2],S[1..3],...S[1..N]=S的SAM。

小Hi：假设我们已经构造好了S[1..i]的SAM。这时我们要添加字符S[i+1]，于是我们新增了i+1个S[i+1]的后缀要识别：S[1..i+1],S[2..i+1],...S[i..i+1],S[i+1]。考虑到这些新增状态分别是从S[1..i],S[2..i],S[3..i],...,S[i],""(空串)通过字符S[i+1]转移过来的，所以我们还要对S[1..i],S[2..i],S[3..i],...,S[i],""(空串)对应的状态们增加相应的转移。

小Hi：我们假设S[1..i]对应的状态是u，等价于S[1..i]∈substrings(u)。根据上周的讨论我们知道S[1..i],S[2..i],S[3..i],...,S[i],""(空串)对应的状态们恰好就是从u到初始状态S的由SuffixLink连接起来路径上的所有状态，不妨称这条路径(上所有状态集合)是suffix-path(u->S)。

小Hi：显然至少S[1..i+1]这个子串不能被以前的SAM识别，所以我们至少需要添加一个状态z，z至少包含S[1..i+1]这个子串。

小Hi：首先考虑一种最简单的情况：对于suffix-path(u->S)的任意状态v，都有trans[v][S[i+1]]=NULL。这时我们只要令trans[v][S[i+1]]=z，并且令slink[st]=S即可。

小Hi：例如我们已经得到"aa"的SAM，现在希望构造"aab"的SAM。如下图所示：



小Hi：此时u=2，z=3，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径2-1-S。并且这3个状态都没有对应字符b的转移。所以我们只要添加红色转移trans[2][b]=trans[1][b]=trans[S][b]=z即可。当然也不要忘了slink[3]=S。

小Ho：那要是suffix-path(u->S)上有一个节点v，使得trans[v][S[i+1]]!=NULL怎么办？

小Hi：好问题。我们以下图为例，假设我们已经构造"aabb"的SAM如图，现在我们要增加一个字符a构造"aabba"的SAM。



小Hi：这时u=4，z=6，suffix-path(u->S)是桔色状态组成的路径4-5-S。对于状态4和状态5，由于它们都没有对应字符a的转移，所以我们只要添加红色转移trans[4][a]=trans[5][a]=z=6即可。面对S时我们遇到了小Ho你提出的问题，trans[S][a]=1已经存在，怎么办？

小Ho：怎么办呢？

小Hi：不失一般性，我们可以认为在suffix-path(u->S)遇到的第一个状态v满足trans[v][S[i+1]]=x。这时我们需要讨论x包含的子串的情况。如果x中包含的最长子串就是v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1=maxlen(x)，比如在上面的例子里，v=S,x=1，longest(v)是空串，longest(1)="a"就是longest(v)+'a'。这种情况比较简单，我们只要增加slink[z]=x即可。

小Hi：如果x中包含的最长子串不是v中包含的最长子串接上字符S[i+1]，等价于maxlen(v)+1<maxlen(x)，这种情况最为复杂，不失一般性，我们用下图表示这种情况，这时增加的字符是c，状态是z。



小Hi：在suffix-path(u->S)这条路径上，从u开始有一部分连续的状态满足trans[u..][c]=NULL，对于这部分状态我们只需增加trans[u..][c]=z。紧接着有一部分连续的状态v..w满足trans[v..w][c]=x，并且longest(v)+c不等于longest(x)。这时我们需要从x拆分出新的状态y，并且把原来x中长度小于等于longest(v)+c的子串分给y，其余字串留给x。同时令trans[v..w][c]=y，slink[y]=slink[x],slink[x]=slink[z]=y。

小Ho：好像比较复杂。

小Hi：我们来举个例子。假设我们已经构造"aab"的SAM如图，现在我们要增加一个字符b构造"aabb"的SAM。



小Hi：当我们处理在suffix-path(u->S)上的状态S时，遇到trans[S][b]=3。并且longest(3)="aab"，longest(S)+'b'="b"，两者不相等。其实不相等意味增加了新字符后endpos("aab")已经不等于endpos("b")，势必这两个子串不能同属一个状态3。这时我们就要从3中新拆分出一个状态5，把"b"及其后缀分给5，其余的子串留给3。同时令trans[S][c]=5,slink[5]=slink[3]=S,slink[3]=slink[6]=5。

小Hi：整个过程的代码如下，其中状态0代表初始状态S；状态u,v,x,y,z的意义如上文所述；-1代表slink或者trans不存在。

constintMAXL=1000000;
strings;
intn=0,len,st;
intmaxlen[2*MAXL+10],minlen[2*MAXL+10],trans[2*MAXL+10][26],slink[2*MAXL+10];

intnew_state(int_maxlen,int_minlen,int*_trans,int_slink){
maxlen
=_maxlen;
minlen
=_minlen;
for(inti=0;i<26;i++){
if(_trans==NULL)
trans
[i]=-1;
else
trans
[i]=_trans[i];
}
slink
=_slink;
returnn++;
}

intadd_char(charch,intu){
intc=ch-'a';
intz=new_state(maxlen[u]+1,-1,NULL,-1);
intv=u;
while(v!=-1&&trans[v][c]==-1){
trans[v][c]=z;
v=slink[v];
}
if(v==-1){//最简单的情况，suffix-path(u->S)上都没有对应字符ch的转移
minlen[z]=1;
slink[z]=0;
returnz;
}
intx=trans[v][c];
if(maxlen[v]+1==maxlen[x]){//较简单的情况，不用拆分x
minlen[z]=maxlen[x]+1;
slink[z]=x;
returnz;
}
inty=new_state(maxlen[v]+1,-1,trans[x],slink[x]);//最复杂的情况，拆分x
slink[y]=slink[x];
minlen[x]=maxlen[y]+1;
slink[x]=y;
minlen[z]=maxlen[y]+1;
slink[z]=y;
intw=v;
while(w!=-1&&trans[w][c]==x){
trans[w][c]=y;
w=slink[w];
}
minlen[y]=maxlen[slink[y]]+1;
returnz;
}

小Ho：咦？程序倒是意外的简单。

输入

共一行，包含一个由小写字母构成的字符串。字符串长度不超过1000000。

输出

一行一个整数，表示答案。

样例输入aab样例输出5

代码：

#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> //byNeighThorn usingnamespacestd; constintmaxn=2000000+5; intlast=1,tail=1,Min[maxn],Max[maxn],nxt[maxn][26],fail[maxn]; chars[maxn]; inlinevoidbuild(char*s){ while(*s){ intp=last,t=++tail,c=*s++-'a'; Max[t]=Max[p]+1; while(p&&!nxt[p][c]) nxt[p][c]=t,p=fail[p]; if(p){ intq=nxt[p][c]; if(Max[q]==Max[p]+1) fail[t]=q,Min[t]=Max[q]+1; else{ intk=++tail; fail[k]=fail[q]; fail[t]=fail[q]=k; Max[k]=Max[p]+1; Min[q]=Max[k]+1; Min[t]=Max[k]+1; Min[k]=Max[fail[k]]+1; memcpy(nxt[k],nxt[q],26*sizeof(int)); while(nxt[p][c]==q) nxt[p][c]=k,p=fail[p]; } } else fail[t]=1,Min[t]=1; last=t; } } inlinevoidcalc(void){ longlongans=0; for(inti=2;i<=tail;i++) ans+=Max[i]-Min[i]+1; printf("%lld\n",ans); } signedmain(void){ scanf("%s",s);build(s);calc(); return0; }

　　

$ByNeighThorn$


                                            

                                        

                        
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