读书笔记：弯曲空间的波方程

概念复习

δ函数： δ(x)={0 ∞ x≠0x=0 满足∫∞−∞δ(x)dx=1 δ函数还满足筛选性： 设函数f(x) 在x=a处连续，则有 ∫∞−∞δ(x−a)f(x)dx=f(a)

δn(x)序列

设δn(x)=nπ−−√e−(nx)2

练习：证明∫∞−∞δn(x)dx=1

Green 第一等式

∫CGF⋅n^ds=∬D(G∇⋅F+F⋅∇G)dA

Green 第二等式

∫C（u∇G−G∇u）⋅n^ds=∬D(u∇2G−G∇2u)dA

简单例子

考虑

{∇2uu=F in D=f on ∂D(1)

假如已经知道了

{∇2GG=δ(r) in D=0 on ∂D(2)其中(x,y)∈D,(ξ,η)∈∂D,r=dsiatan((ξ,η),(x,y)),(x,y)是固定点。

练习：由Green第二等式可得：u(x,y)=∬DGFdA+∫∂Df∇G⋅n^ds(3)

接着我们自然就要问：怎么找到G?这就相当于要解方程(2),先看

∇2v=δ(r)⇒vrr+1rvr=0

练习：证明v(r)=12πlnr,接着

⎧⎩⎨⎪⎪G(x,y;ξ,η)∇2hG=12πlnr+h=0=0

{∇2hh=0 =−12πlnr (ξ,η)∈D(ξ,η)∈∂D

练习：证明（1）D=R2时： G=12πlnr;

(2) D={(x,y):y>0},证明 G=12πlnr+h,h=−12πln(ξ−x)2+(η+y)2−−−−−−−−−−−−−−−√