算法笔记_132:最大流量问题（Java）

1 问题描述

何为最大流量问题？

给定一个有向图，并为每一个顶点设定编号为0~n，现在求取从顶点0(PS：也可以称为源点)到顶点n(PS:也可以称为汇点)后，顶点n能够接收的最大流量。图中每条边的权值为该边的容量，从顶点0到顶点n的某一条路径中最大流量不能超过该路径中任何一条边剩下的容量。

2 解决方案

上述对于最大流量问题的描述是楼主自己个人描述，描述的有点粗暴简略>~<。

求取最大流量问题的的核心要理解三个概念：

（1）残留网络

（2）增广路径

（3）流网络的割

具体概念讲解，请见文末参考资料1。

下图是对于最大流量问题实现的一个图，该图共有7条有向边，从顶点1到顶点6的最大流量为3。





具体代码如下：

package com.liuzhen.practice;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class Main {
public static int maxV = Integer.MAX_VALUE;
public static int[][] capacity = new int[6][6]; //用于统计给定图前向边和后向边剩余流量
public static int[] flow = new int[6];  //用于统计从源点到图中任意一点i的最大可增加的流量
public static int[] pre = new int[6];  //用于记录当前到达顶点的前驱顶点

public int bfs(int[][] graph) {  //使用BFS遍历，寻找给定图的增广路径
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
list.add(0);      //源点为顶点0
for(int i = 0;i < 6;i++) {
pre[i] = -1;   //初始化所有顶点的前驱顶点为-1
}
pre[0] = 0;     //源点的前驱顶点设定为自己
flow[0] = maxV; //源点的前驱顶点到源点的增加流量设定为无穷大
while(!list.isEmpty()) {
int index = list.get(0);
list.remove(0);
if(index == 5)
break;
for(int i = 0;i < graph.length;i++) {
if(capacity[index][i] > 0 && pre[i] == -1) {//当顶点i未被访问且到达顶点i有剩余流量时
pre[i] = index;  //顶点i的前驱顶点为index
flow[i] = Math.min(flow[index], capacity[index][i]);
list.add(i);
}
}
}
if(pre[5] != -1)
return flow[5];
return -1;
}

public void getResult(int[][] graph) {
int result = 0;
int temp = bfs(graph);
while(temp != -1) {
result = result + temp;
int start = pre[5];
int end = 5;
while(start != 0) {
capacity[start][end] -= temp;   //前向边剩余流量减少temp
capacity[end][start] += temp;   //后向边剩余流量增加temp
end = start;
start = pre[end];
}
capacity[0][end] -= temp;
capacity[end][0] += temp;
temp = bfs(graph);
}
System.out.println("给定图的最大流量为："+result);
return;
}

public static void main(String[] args) {
Main test = new Main();
int[][] graph = new int[6][6];
Scanner in = new Scanner(System.in);
int num = in.nextInt();   // 给定图的边数目
for(int i = 0;i < num;i++) {
int a = in.nextInt();
int b = in.nextInt();
int value = in.nextInt();
graph[a - 1][b - 1] = value;
capacity[a - 1][b - 1] = value;//前向边起始剩余流量为边的容量，后向边起始剩余流量为0
}
test.getResult(graph);
}
}

[b]运行结果：[/b]

7
1 2 2
1 3 4
2 5 3
2 3 5
4 3 1
5 6 4
3 2 6
给定图的最大流量为：3

[b]参考资料：[/b]

1. 图的匹配问题与最大流问题（二）——最大流问题Ford-Fulkerson方法

2.关于最大流的EdmondsKarp算法详解

3.《算法设计与分析基础》第3版 Anany Levitin 著 潘彦 译