I have a date with Algorthim.

I have a date with Algorthim

算法之旅第一步–分治



基本定义:

在计算机科学中, 分治法是一种很重要的算法.

字面上的解释是”分而治之”, 就是把一个复杂的问题分成两个或多个(两个或两个以上)的相同或相似的子问题, 再把子问题分成更小的子问题 -> 直到最后子问题可以简单的直接求解, 原问题的解即子问题的解的合并.

这个技巧是很多高效算法的基础, 如排序算法(快速排序，归并排序), 傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其

规模

有关.

问题的规模越小, 越容易直接求解, 解题所需的计算时间也越少.

例如:

对于n个元素的排序问题, 当n=1时, 不需任何计算.

n=2时, 只要作一次比较即可排好序.

n=3时只要作3次比较即可, … .

而当n较大时, 问题就不那么容易处理了.

要想直接解决一个规模较大的问题, 有时是相当困难的.



基本思想和策略:

分治法的设计思想是:

将一个难以直接解决的大问题, 分割成一些规模较小的相同问题, 以便各个击破, 分而治之.

分治策略是:

对于一个规模为n的问题, 若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决, 否则将其分解为

k个规模较小的子问题

, 这些子问题

互相独立

且与

原问题形式相同

, 递归地解这些子问题，然后将各

子问题的解合并得到原问题的解

. 这种算法设计策略叫分治法.

如果原问题可分割成k个子问题,

1<k≤n

, 且这些

子问题都可解

并可

利用这些子问题的解求出原问题的解

，那么这种分治法就是可行的.

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便.

在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解. ->这自然导致递归过程的产生.

分治

与

递归

像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法.



分治法的统治领域:

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

a. 该问题的规模

缩小到一定的程度

就可以

容易地解决

;

b. 该问题可以分解为

若干个规模较小的相同问题

，即该问题具有

最优子结构性质

;

c. 利用该问题分解出的

子问题的解可以合并为该原问题的解

;

d. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题.

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的, 因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的, 此特征反映了

递归思想

的应用;

第三条特征是关键, 能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征, 如果具备了第一条和第二条特征, 而不具备第三条特征, 则可以考虑用

贪心法

或

动态规划法

.

第四条特征涉及到分治法的效率, 如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作, 重复地解公共的子问题, 此时虽然可用分治法, 但一般用动态规划法较好.

分治法的解析步骤:

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题;

step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题;

step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解.

它的一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

7. return(T)

其中

|P|

表示问题

P的规模

;

n0

为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解.

ADHOC(P)

是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P.

因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解.

算法

MERGE(y1,y2,...,yk)

是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题

P1 ,P2 ,...,Pk

的相应的解

y1,y2,...,yk

合并为P的解.

分治法的复杂性分析:

一个分治法将规模为n的问题分成

k个规模为n／m的子问题

去解.

设分解阀值

n0=1

, 且

adhoc

解规模为1的问题耗费1个单位时间.

再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间.

用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有:

T（n）= k*T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解:

递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度.

通常假定T(n)是单调上升的，从而当

mi≤n<mi+1

时，

T(mi)≤T(n)<T(mi+1)

.

分治法的思维过程:

实际上就是类似于

数学归纳法

，找到

解决本问题的求解方程公式

，然后根据

方程公式设计递归程序

.

1、一定是先找到

最小问题规模时

的求解方法;(数学归纳法的初始值已知(n = 0; 函数方程的值))

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法;(数学归纳法的n = n-1时的函数值).

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可.(根据n = 0 -> n = n-1的函数变化过程得到n = n的值, 从而得出函数的解).

JackDan9 Thinking.

《Algorthim》Book.