cogs 2259. 异化多肽 （生成函数+NTT）

题目描述

传送门

题目大意：M种氨基酸，已知其相对分子质量分别为C1,C2,C3……，经过精密的脱水缩合后形成了大量各种各样的肽链。需要预测有多少种多肽链水解后相对分子质量和为N。(A-B-C与C-B-A两条肽链视为不同)

题解

设生成函数A(x),序列中的每一位{ai}表示相对分子质量为i的氨基酸有多少个。

生成函数B(x)，序列中的每一位{bi}表示相对分子质量和为i的肽链有多少种。

那么容易得出B(x)=∑i=0∞A(x)i

根据无穷等比数列的计算公式B(x)=11−A(x)

那么我们只要对多项式1−A(x)求逆，得到的多项式B(x)中xn的系数就是答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 600003
#define p 1005060097
#define LL long long
using namespace std;
LL a
,b
,c
;
int n,m,n1,L,R
;
LL quickpow(LL num,LL x)
{
LL base=num%p; LL ans=1;
while(x){
if (x&1) ans=ans*base%p;
x>>=1;
base=base*base%p;
}
return ans;
}
void NTT(LL a
,int n,int opt)
{
for (int i=0,j=0;i<n;i++) {
if (i>j) swap(a[i],a[j]);
for (int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
}
for (int i=1;i<n;i<<=1) {
LL wn=quickpow(5,(p-1)/(i<<1));
for (int p1=i<<1,j=0;j<n;j+=p1){
LL w=1;
for (int k=0;k<i;k++,w=w*wn%p){
LL x=a[j+k]; LL y=a[j+k+i]*w%p;
a[j+k]=(x+y)%p; a[j+k+i]=(x-y+p)%p;
}
}
}
if (opt==-1) reverse(a+1,a+n);
}
void INV(int n,LL a
,LL b
,LL c
)
{
if (n==1) b[0]=quickpow(a[0],p-2);
else {
INV(n>>1,a,b,c);
int k=(n<<1);
for (int i=0;i<n;i++) c[i]=a[i];
for (int i=n;i<k;i++) c[i]=0;
NTT(c,k,1);
NTT(b,k,1);
for (int i=0;i<k;i++) b[i]=(2-c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;
NTT(b,k,-1);
LL inv=quickpow(k,p-2);
for (int i=0;i<k;i++) b[i]=b[i]*inv%p;
for (int i=n;i<k;i++) b[i]=0;
}
}
int main()
{
freopen("polypeptide.in","r",stdin);
freopen("polypeptide.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m); int mx=0;
for (int i=1;i<=m;i++) {
int x; scanf("%d",&x);
a[x]--; mx=max(mx,x);
}
a[0]=1; int t=n;
for (int i=0;i<=mx;i++) a[i]=(a[i]+p)%p;
m=2*mx;
for (n1=1;n1<=m;n1<<=1) L++;
for (int i=0;i<=n1;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
INV(n1,a,b,c);
printf("%I64d\n",b[t]%p);
}