洛谷 P3628 [APIO2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：

4

-1 10 -20

2 2 3 4

输出样例#1：

9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

【分析】

非常科学，非常优雅。

列个式子得到解。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define inf 1e9+7
#define ll long long
#define M(a) memset(a,0,sizeof a)
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const int mxn=1000005;
ll n,a,b,c,h,t;
ll dp[mxn],res[mxn],q[mxn];
inline double g(ll k,ll j)  //k<j
{
ll up=dp[k-1]-dp[j-1]+a*(res[k-1]*res[k-1]-res[j-1]*res[j-1])+b*(res[j-1]-res[k-1]);
ll down=2*a*(res[k-1]-res[j-1]);
return (double)up/(double)down;
}
int main()
{
ll i,j,k;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
fo(i,1,n)
{
scanf("%lld",&res[i]);
res[i]+=res[i-1];
}
h=1,t=0;
fo(i,1,n)
{
while(h<t && g(q[h],q[h+1])<res[i]) h++;
ll now=max(q[h],(ll)1);
dp[i]=dp[now-1]+a*(res[i]-res[now-1])*(res[i]-res[now-1])+b*(res[i]-res[now-1])+c;
dp[i]=max(dp[i],dp[i-1]+a*(res[i]-res[i-1])*(res[i]-res[i-1])+b*(res[i]-res[i-1])+c);
while(h<t && g(q[t-1],q[t])>g(q[t],i)) t--;
q[++t]=i;
}
printf("%lld\n",dp
);
return 0;
}