【模板】左偏树

洛谷模板题

一听左偏树这个名字就感觉左偏。。

左偏树是什么，好像就是个堆，大根堆或小根堆，可以支持合并，取堆顶元素，删除堆顶元素，插入元素的操作。

一些说明：

左偏树节点除了应有的东西，还有键值和距离，键值用于比较大小，距离是什么？

距离是这样定义的：

节点i称为外节点(external node)，当且仅当节点i的左子树或右子树为空 ( left(i) = NULL或right(i) = NULL )；节点i的距离(dist(i))是节点i到它的后代中，最近的外节点所经过的边数。特别的，如果节点i本身是外节点，则它的距离为0；而空节点的距离规定为-1 (dist(NULL) = -1)。一棵左偏树的距离，指的是该树根节点的距离。

额。。多看几遍才看懂。

左偏树具体有一些性质：

[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。（键值就是点权）——堆的性质

[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。——左偏

[性质3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。（因为左偏，所以右儿子距离小）

[引理1] 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。　　

[定理1] 若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有2k+1-1个节点。

[性质4] 一棵N个节点的左偏树距离最多为ëlog(N+1)û -1。(这是什么鬼？)

根据性质就可以理解左偏树操作的具体步骤了。

合并A和B：1.如果有一个树为空就返回另一个

　　　　　 2.假定root(A).w < root(B).w, 否则交换A和B，把root(A)作为新树的根

　　　　　 3.合并right(A)和B, 继续步骤2

　　　　　 4.由于合并之后right(A)的距离可能会变大, 如果变大就交换right(A)和left(A)

　　　　　 5.由于right(A)距离改变，A的距离也会变，更新dis(A) = dis(right(A)) + 1

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int n, m;
int f[100001], l[100001], r[100001], w[100001], d[100001];//f[i]表示第i个数所在堆的堆顶
bool b[100001];//表示是否被删除
//合并以 x, y 为根的堆
inline int merge(int x, int y)
{
if(!x || !y) return x + y;
if(w[x] > w[y]) swap(x, y);
r[x] = merge(r[x], y);
f[r[x]] = x;//并查集
if(d[l[x]] < d[r[x]]) swap(l[x], r[x]);
d[x] = d[r[x]] + 1;
return x;
}

inline int pop(int x)//返回新合并的堆的堆顶
{
int lc = l[x], rc = r[x];
f[lc] = lc;
f[rc] = rc;
l[x] = r[x] = d[x] = 0;
return merge(lc, rc);
}

inline int find(int x)
{
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}

inline int top(int x)//第几个数所在堆的堆顶
{
return w[x];
}

int main()
{
int i, j, x, y, c, fx, fy;
scanf("%d %d", &n, &m);
for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]), f[i] = i;
for(i = 1; i <= m; i++)
{
scanf("%d", &c);
if(c == 1)
{
scanf("%d %d", &x, &y);
if(b[x] || b[y]) continue;//如果有一个数被删除
fx = find(x);
fy = find(y);
if(fx == fy) continue;//在同一个堆中
merge(fx, fy);//合并
}
else
{
scanf("%d", &x);
if(b[x]) printf("-1\n");
else
{
fx = find(x);
printf("%d\n", w[fx]);
b[fx] = 1;
f[fx] = pop(fx);
//因为有的节点指向当前堆的堆顶，所以也得更新删除的堆顶
}
}
}
return 0;
}