BZOJ 1263: [SCOI2006]整数划分 数学，高精度

Description

从文件中读入一个正整数n（10≤n≤31000）。要求将n写成若干个正整数之和，并且使这些正整数的乘积最大。 例如，n=13，则当n表示为4+3+3+3（或2+2+3+3+3）时，乘积=108为最大。

Input

只有一个正整数： n （10≤n≤31000）

Output

第1行输出一个整数，为最大乘积的位数。 第2行输出最大乘积的前100位，如果不足100位，则按实际位数输出最大乘积。 （提示：在给定的范围内，最大乘积的位数不超过5000位）。

Sample Input

13

Sample Output

3

108

解法：

神结论。。。orzzz

结论：

如果n是3的倍数 那么将n划分成n/3个3是最优的

如果n是3的倍数+1 那么将n划分成(n-4)/3个3和两个2是最优的

如果n是3的倍数+2 那么将n划分成(n-2)/3个3和1个2是最优的

证明在PoPoQQQ大爷博客上有：

证明是有的

考虑不是划分成整数，而是划分成任意实数

设我们将n划分成了x个正实数之和

易知当这x个数相等时答案是最优的

那么每个数都是n/x，答案是(n/x)^x

设y=(n/x)^x

则有lny=x[ln(n)-ln(x)]

两侧求导可得y’=(n/x)^x * ( ln(n) - ln(x) - 1 )

当x=n/e时y‘取0 此时乘积最大

因此每个数要尽量靠近e才能使答案最大

现在考虑整数 离e最近的整数是3 因此要把n尽量分成3 不足的用2补齐 这样可以保证是最优的。

这就解释了为什么是分尽量多的3。

//BZOJ 1263 高精度

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 5050;
struct BigInteger{
int a[maxn], cnt;
BigInteger(int x){a[cnt=1]=x;}
void operator *= (int x){
for(int i=1; i<=cnt; i++) a[i]*=x;
for(int i=1; i<=cnt; i++) a[i+1]+=a[i]/10, a[i]%=10;
if(a[cnt+1]) ++cnt;
}
}ans(1);

int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
switch(n%3){
case 0:
for(int i=3; i<=n; i+=3)
ans*=3;
break;
case 1:
for(int i=7; i<=n; i+=3) ans*=3;
ans*=4;
break;
case 2:
for(int i=5; i<=n; i+=3) ans*=3;
ans*=2;
break;
}
cout<<ans.cnt<<endl;
for(int i = ans.cnt; i&&i>ans.cnt-100;i--)
printf("%d", ans.a[i]);
printf("\n");
return 0;
}