高斯消元

作用

高斯消元可以比较快速地求解多元线性方程，在OI中有许多的应用。

实现

高斯消元的思想其实和我们以前求解二元、三元一次方程的想法一样，就是用消元的思想，先求出一定量的未知数，然后代回去求解，比如：

4x+5y=14

x−y=−1

我们把这两个方程变成矩阵的形式：

[415−114−1]

把第一行减去4*第二行，就得到：

[019−118−1]

因为第一行只剩下了一个未知数，于是得到第二个未知数=2，然后代入第二行，得到第一个未知数为1。

一般的，对于n行n+1列的矩阵：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1,1x2,1…xn,1x1,2x2,2…xn,2…………x1,n+1x2,n+1…xn,n+1⎤⎦⎥⎥⎥⎥

先找出第一列不为0的i，找到后把第i行交换到第1行（为了方便写程序），如果找不到则无解（或任意解），将2~n行均减去适当倍数的第1行，使2~n行的第1列变成0。

然后从2~n中找出第2列不为0的i，找到后把第i行交换到第2行（同理，找不到就无解），将3~n行均减去适当倍数的第2行，使3~n行的第2列变成0。

……

最后检查第n行的第n列是否为0，如果为0，则无解。否则先算出第n个未知数，然后代回第n-1行，算出第n-1个未知数，以此类推算出所有未知数。

效率

不难看出效率为O(n3)，中规中矩。

模板题

BZOJ1013，题解传送门。