【bzoj4816】[Sdoi2017]数字表格

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Description

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么

f[0]=0

f[1]=1

f
=f[n-1]+f[n-2],n>=2

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input

有多组测试数据。

第一个一个数T，表示数据组数。

接下来T行，每行两个数n,m

T<=1000,1<=n,m<=10^6

Output

输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input

3

2 3

4 5

6 7

Sample Output

1

6

960

题解

莫比乌斯反演。

求∏x=1n∏y=1mfib(gcd(x,y))

如果我们能找到一个f(x)使fib(x)=∏d|xf(d)。

那么原式可以转化为：∏x=1n∏y=1m∏d|gcd(x,y)f(d)

⇒∏x=1n∏y=1m∏d|x,d|yf(d)

⇒∏d=1min(n,m)f(d)⌊nd⌋⌊md⌋

然后相同的⌊nd⌋⌊md⌋分块计算即可。

考虑f(x)怎么求。

显然f(x)=fib(x)∏d|x,d≠xf(d)

那么就可以递推求解了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)) { if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}

typedef long long ll;
const int N = 1000000 + 10, mo = 1000000007;
ll f
, fv
;
int n, m;

ll poww(ll a, ll b){
ll cnt = 1;
while(b){
if(b & 1) cnt  = (cnt * a) % mo;
a = (a * a) % mo;
b >>= 1;
}
return cnt;
}

void init(){
f[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i++)
f[i] = (f[i-1] + f[i-2]) % mo;
for(int i = 1; i < N; i++){
ll inv = poww(f[i], mo - 2);
for(int j = i + i; j < N; j += i)
f[j] = (f[j] * inv) % mo;
}
f[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; i++) f[i] = (f[i] * f[i-1]) % mo;
for(int i = 0; i < N; i++) fv[i] = poww(f[i], mo - 2);
}

void work(){
int t = read();
ll ans;
while(t--){
int n = read(), m = read();
if(n > m) swap(n, m);
ans = 1;
for(int i = 1, p; i <= n; i = p + 1){
p = min(n/(n/i), m/(m/i));
ans = ans * poww(poww((f[p] * fv[i-1] % mo), (ll)n/i), (ll)m/i) % mo;
}
printf("%lld\n", ans);
}
}

int main(){
init();
work();
return 0;
}