bzoj4815 [Cqoi2017]小Q的表格
这题好妙啊,我好菜啊……居然连辗转相减都看不出来,我是不是没救了……
……
考虑题目给出的两个条件:
$f_{a,b}=f_{b,a}$,这个就是对称性。
$b×f_{a,a+b}=(a+b)×f_{a,b}$,这个有点意思。整道题明明就是这里最难好嘛
先不管两个$f_{a,b}$之间到底有什么数量关系,只考虑哪些$f_{a,b}$互相影响,记$a~b$表示$a$与$b$相关,可以把它变形一下得到$f_{a,b}~f_{a,b-a}(a\le b)$,结合$f_{a,b}=f_{a,b}$可以发现,所有相互影响的$f_{a,b}$都有一个共同性质:$\gcd(a,b)$相等(根据辗转相减法,当$a<b$时有$(a,b)=(a,b-a)$)。
然后来考虑两个互相影响的$f_{a,b}$的数量关系,把第二个条件移个项之后得到$\frac{f_{a,b}}b=\frac{f_{a,a+b}}{a+b}$,也就是说$a$一定时$f_{a,b}$的值与$b$成正比,根据对称性还可知$b$一定时$f_{a,b}$的值与$a$成正比,不难推出所有互相影响的$f_{a,b}$的值都与$a×b$成正比。设$(a,b)=g$,那么每个$f_{a,b}$就可以通过$\frac a g×\frac b g×f_{g,g}$唯一确定,这样那个$n^2$大小的矩阵就只有对角线上的那些元素有用了,查询的时候计算每个$g$的贡献即可,记$f_{d,d}=f(d)$,那么表格的前n行前n列之和就是
\begin{align}\sum_{d=1}^n f(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=d]\frac{ij}{d^2}\\=\sum_{d=1}^n f(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac n d\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac n d\right\rfloor}[(i,j)=1]ij\end{align}
有一个结论:$\le n$且互质的数对两个数的乘积之和等于$i^2\varphi(i)$的前$n$项之和,写成公式就是
\begin{align}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=1]ij=\sum_{i=1}^n i^2\varphi(i)\end{align}
这个东西很好推,实在不知道的话后面会有证明,总之先记住就好了。
有了这个东西,就有
\begin{align}Ans=\sum_{d=1}^n f(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac n d\right\rfloor}i^2\varphi(i)\end{align}
预处理$i^2\varphi(i)$的前缀和之后就可以做到单次询问$O(n)$了,但这显然还不够。注意到这个式子中有分块形式,因此如果能维护$f(d)$的前缀和的话就可以快速计算答案了,记修改的复杂度为$g(n)$,查询的复杂度为$h(n)$,那么单次询问的复杂度就是$O(h(n)\sqrt n)$。如果用树状数组维护的话,$g(n)=h(n)=O(\log n)$,一次修改+一次查询的复杂度就是$O(\sqrt n\log n)$。注意到修改很少而查询很多(每次操作会进行一次修改和$O(\sqrt n)$次询问),那么我们可以使用$O(\sqrt n)$修改+$O(1)$查询的分块维护(预处理前缀和,每次修改时暴力修改块内前缀和,再对后面的块打标记,查询时直接返回对应位置前缀和+对应块的标记即可),每次操作的复杂度就可以降到$O(\sqrt n)$了,总复杂度$O(m\sqrt n)$,这样就可以过了。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=4000010,maxb=2010,p=1000000007; void phi_table(int); void modify(int,int); int query(int); int gcd(int,int); bool notp[maxn]={false}; int prime[maxn]={0},phi[maxn]; int id[maxn],L[maxb],R[maxb],cntb=0; int f[maxn],sum[maxn]={0},lazy[maxb]={0}; long long x; int n,B,m,a,b,k,ans; int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); B=(int)(sqrt(n)+0.5); for(int i=1;i<=n;i++){ id[i]=(i-1)/B+1; if(!L[id[i]])L[id[i]]=i; R[id[i]]=i; cntb=id[i]; f[i]=(long long)i*i%p; sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%p; } phi_table(n); while(m--){ scanf("%d%d%lld%d",&a,&b,&x,&k); int g=gcd(a,b); x/=(long long)(a/g)*(b/g); x%=p; modify(g,(x-f[g]+p)%p); f[g]=x; ans=0; for(int i=1,last;i<=k;i=last+1){ last=k/(k/i); ans=(ans+(long long)(query(last)-query(i-1)+p)%p*phi[k/i]%p)%p; } printf("%d\n",ans); } return 0; } void phi_table(int n){ phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!notp[i]){ prime[++prime[0]]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){ notp[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); else{ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } } } for(int i=2;i<=n;i++)phi[i]=((long long)i*i%p*phi[i]%p+phi[i-1])%p; } void modify(int x,int d){ int k=id[x]; while(id[x]==k){ sum[x]=(sum[x]+d)%p; x++; } k++; while(k<=cntb){ lazy[k]=(lazy[k]+d)%p; k++; } } inline int query(int x){return (sum[x]+lazy[id[x]])%p;} int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}View Code
附:那个结论的证明
\begin{align}&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=1]ij\\=&2\left(\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^i[(i,j)=1]j\right)-1\\=&2\left(\sum_{i=1}^n i^2\frac{\varphi(i)+e(i)}2\right)-1&(e(i)=[i=1])\\=&\sum_{i=1}^n i^2\varphi(i)\end{align}
至于为什么$\le n$且与$n$互质的数的和为$n\frac{\varphi(n)+e(n)}2$,可以这样理解:如果存在一个$d$满足$(d,n)=1$,根据辗转相减一定有$(n-d,n)=1$,那么我们就可以给这些$d$两两配对,在$n>1$时显然会产生$\varphi(n)$对,每一对的和都是$n$,那么这些数的和自然就是$n\frac{\varphi(n)}2$,再特判一下$n=1$就是$n\frac{\varphi(n)+e(n)}2$了。
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