01背包问题小结

经典的01背包问题描述为：

n个物品，每个物品的重量为w[i]，每个物品的价值为v[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为W，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？  

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(Wn)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(W)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i = 1..n，每次算出来二维数组 c[i][0..W] 的所有值。那么，如果只用一个数

组c[0..W]，能不能保证第 i 次循环结束后 c[w] 中表示的就是我们定义的状态 c[i][w] 呢？ c[i][w] 是由 c[i - 1][w] 和 c[i-1][w - c[i]] 两个

子问题递推而来，能否保证在推 c[i][w] 时（也即在第 i 次主循环中推 c[w] 时）能够得到 c[i - 1][w] 和 c[i - 1][w - c[i]] 的值呢？事实

上，这要求在每次主循环中我们以 w=W..0的顺序推 c[w]，这样才能保证推 c[w] 时 c[w - c[i]] 保存的是状态 c[i - 1][w - c[i]] 的值。伪

代码如下：

[cpp] view
plain copy

 





for i = 1..n  

    for w = W..0  

        c[w] = max{c[w], c[w - w[i]] + v[i]};  

其中的 c[v] = max{c[w], c[w - c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 c[i][w] = max{c[i - 1][w], c[i - 1][w - c[i]]}，因为现在的 c[w - c[i]]就

相当于原来的 c[i - 1][w - c[i]]。如果将 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了 c[i][w] 由 c[i][w - c[i]] 推知，与本题意不

符，但它却是完全背包问题最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数weight、value分别表明这件物品的重量和价值。

[cpp] view
plain copy

 





procedure ZeroOnePack(weight, value)  

    for w = W..weight  

        c[w] = max{c[w], c[w - weight] + value}  

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成 w = W..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解

了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态c[0..weight - 1]，这是显然的。

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

[cpp] view
plain copy

 





for i=1..N  

    ZeroOnePack(w[i], v[i]);  

一个常数优化

前面的伪代码中有 for v=V..1，可以将这个循环的下限进行改进。

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w
]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的

for i=1..N   for v=V..0

可以改成

for i=1..n   bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}   for v=V..bound

这对于V比较大时是有用的。
代码实现
   private static void Knapsack1(int weight, int[] value, int[] weigh) {
int[] v=new int[value.length];
int[] w= new int[weigh.length];
int[][] c=new int[value.length][weight+1];
int[] d=new int[100];
for(int i=0;i<value.length;i++){
v[i]=value[i];
w[i]=weigh[i];
}
for(int i=1;i<value.length;i++){
for(int k=1;k<=weight;k++){
if(w[i]<=k){
c[i][k]=max(c[i-1][k],c[i-1][k-w[i]]+v[i]);
System.out.println("(i k) "+" ("+i+" "+k+")"+" 为"+c[i][k]);
}else{
c[i][k]=c[i-1][k];
System.out.println("(i k) "+" ("+i+" "+k+")"+" 为"+c[i][k]);
}
}
}
System.out.println(c[value.length-1][weight]);
}
private static void Knapsack2(int weight, int[] v, int[] w) {
int[] c=new int[weight+1];
for(int i=1;i<v.length;i++){
for(int j=50;j>=w[i];j--){
c[j] = max(c[j], c[j - w[i]] + v[i]);

}
System.out.println("i= "+i+"时 "+c[50]);
}
System.out.println(c[weight]);
}

private static int max(int i, int j) {
return i>j?i:j;
}优化后：
private static void ZeroOnePack(int weight, int[] v, int[] w)
{
int i,j,sum=0,bound;
int[] c=new int[weight+1];

for(i=1;i<v.length;i++) sum+=w[i];
for(i=1;i<v.length;i++)
{
if(i>1) sum-=w[i-1];
bound=max(weight-sum,w[i]);
for(j=weight;j>=bound;j--)
{
c[j]=max(c[j],c[j-w[i]]+v[i]);
}
}
System.out.println(c[weight]);
}

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。