[BZOJ1937][Shoi2004]Mst 最小生成树（KM）

题目描述

传送门

题目大意：一个无向图每一条边有边权，给出一棵生成树，求最小的修改边权的方案使这棵树是这个图的一个最小生成树。

题解

刚开始看到这道题是没大有思路的

首先将树边和非树边分开，每一条边看做一个点，然后枚举每一条树边，将树边的两个端点所确定的树链上所有大于这条非树边的边全部连向这条非树边，权值为边权的差值，然后做二分图的最大权值匹配

想出来这个做法了之后不会非常严格的证明，但是感觉首先每一条边只会被修改一次，并且能匹配的两条边任意修改一个就可以，然后只要修改掉一个最大的就行了，所以认为是对的

但是实际上有一种更科学的方法

KM算法有一个性质就是匹配的一条边的两个顶标之和大于等于边权，并且每一次修改的时候保证了顶标的变化量最小。这样的话恰好符合了最小生成树的性质：两条边的修改量大于等于边权，并且修改量最小

通过这道题还发现了一个问题是，在KM的过程中如果左边的点集大小大于右边的点集大小，那么应该在右边加上一些虚点，否则左边多出来的那些点永远无法匹配

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
#define N 1005
#define inf 1000000000

int n,m,nn,mm,mak,ans;
int tot,point
,nxt[N*2],v[N*2],id[N*2];
int father
,h
,last
,num
;
int e

,ex
,ey
,visx
,visy
,linky
,lak
;
struct data
{
int x,y,z;
bool operator < (const data &a) const
{
return x<a.x||x==a.x&&y<a.y;
}
}ed
;
bool istree
;
map <data,int> mp;

void add(int x,int y,int z)
{
++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; id[tot]=z;
}
void dfs(int x,int fa)
{
father[x]=fa;h[x]=h[fa]+1;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
if (v[i]!=fa)
{
last[v[i]]=id[i];
dfs(v[i],x);
}
}
bool find(int x,int mak)
{
visx[x]=mak;
for (int i=1;i<=mm;++i)
if (visy[i]!=mak)
{
int tmp=ex[x]+ey[i]-e[x][i];
if (!tmp)
{
visy[i]=mak;
if (linky[i]==-1||find(linky[i],mak))
{
linky[i]=x;
return 1;
}
}
else lak[i]=min(lak[i],tmp);
}
return 0;
}
int KM()
{
for (int i=1;i<=nn;++i)
for (int j=1;j<=mm;++j)
ex[i]=max(ex[i],e[i][j]);
memset(linky,-1,sizeof(linky));
for (int i=1;i<=nn;++i)
{
for (int j=1;j<=mm;++j) lak[j]=inf;
while (1)
{
++mak;
if (find(i,mak)) break;
int tmp=inf;
for (int k=1;k<=mm;++k)
if (visy[k]!=mak) tmp=min(tmp,lak[k]);
for (int k=1;k<=nn;++k)
if (visx[k]==mak) ex[k]-=tmp;
for (int k=1;k<=mm;++k)
if (visy[k]==mak) ey[k]+=tmp;
else lak[k]-=tmp;
}
}
int sum=0;
for (int i=1;i<=mm;++i)
if (linky[i]!=-1)
sum+=e[linky[i]][i];
return sum;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
if (x>y) swap(x,y);
ed[i].x=x,ed[i].y=y,ed[i].z=z;
mp[ed[i]]=i;
}
for (int i=1;i<n;++i)
{
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
if (x>y) swap(x,y);
data now=(data){x,y,0};
int idnow=mp[now];
++nn;add(x,y,nn),add(y,x,nn);
num[nn]=idnow;
istree[idnow]=1;
}
dfs(1,0);
for (int i=1;i<=m;++i)
if (!istree[i])
{
int x=ed[i].x,y=ed[i].y,z=ed[i].z;
++mm;
if (h[x]<h[y]) swap(x,y);
while (h[x]>h[y])
{
if (ed[num[last[x]]].z>z)
e[last[x]][mm]=ed[num[last[x]]].z-z;
x=father[x];
}
while (x!=y)
{
if (ed[num[last[x]]].z>z)
e[last[x]][mm]=ed[num[last[x]]].z-z;
x=father[x];
if (ed[num[last[y]]].z>z)
e[last[y]][mm]=ed[num[last[y]]].z-z;
y=father[y];
}
}
mm=max(nn,mm);
ans=KM();
printf("%d\n",ans);
}