【矩阵快速幂*模板】nyoj 301 递推求值

递推求值

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难度：4

描述

给你一个递推公式：

f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c

并给你f(1),f(2)的值，请求出f(n)的值，由于f(n)的值可能过大，求出f(n)对1000007取模后的值。

注意:-1对3取模后等于2

输入第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(T<=10000)

随后每行有六个整数，分别表示f(1),f(2),a,b,c,n的值。

其中0<=f(1),f(2)<100,-100<=a,b,c<=100,1<=n<=100000000 (10^9)
输出输出f(n)对1000007取模后的值
样例输入

2
1 1 1 1 0 5
1 1 -1 -10 -100 3

样例输出

5
999896

来源

分析：由于n的值比较大，所以常规方法肯定会超时。根据递推式求第n个表达式的值时，通常用矩阵乘法来做。
本题要构造两个矩阵，

其中一个为矩阵A，作为初始矩阵

所以利用矩阵快速幂能够快速准确地求出结果。

f2  0   0

f1  0   0

1   0   0

另一个为矩阵B

b   a   c

1   0   0

0   0   1

因为F(2)和F(1)是已知的，当n>=3时，每次都乘以矩阵B，就能推出下一个矩阵。而矩阵的第一行第一列的元素就是所求的结果。

代码

4000

 #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef pair<int,int > P;
typedef long long LL;
const int maxn=100;
#define N 3
#define mod 1000007

struct Matrix
{
    LL mat

;
    Matrix()
    {
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }
};

Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix res;
    for(int i=0; i<N; i++)
        for(int j=0; j<N; j++)
        {
            for(int k=0; k<N; k++)
            {
                res.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                res.mat[i][j]%=mod;
            }
        }
    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a,LL n)//矩阵快速幂；
{
    Matrix res;
    for(int i=0;i<N;i++)  //初始化为单位矩阵；
      res.mat[i][i]=1;

    while(n!=0)
    {
        if(n&1)
            res=mul(res,a);
        a=mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    LL n,f1,f2,a,b,c,T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&f1,&f2,&a,&b,&c,&n);
        if(n==1)  printf("%lld\n",(f1+mod)%mod);
        else  if(n==2)  printf("%lld\n",(f2+mod)%mod);
        else
        {
            Matrix A,B;

            A.mat[0][0]=f2;  //构造矩阵！！
            A.mat[1][0]=f1;
            A.mat[2][0]=1;

            B.mat[0][0]=b;
            B.mat[0][1]=a;
            B.mat[0][2]=c;
            B.mat[1][0]=1;
            B.mat[2][2]=1;

            B=pow_matrix(B,n-2);
            A=mul(B,A);

            printf("%lld\n",(A.mat[0][0]+mod)%mod);
        }
    }
    return 0;
}