bzoj4817 [Sdoi2017]树点涂色

Description

Bob有一棵n个点的有根树，其中1号点是根节点。Bob在每个点上涂了颜色，并且每个点上的颜色不同。定义一条路径的权值是：这条路径上的点（包括起点和终点）共有多少种不同的颜色。Bob可能会进行这几种操作：
1 x:把点x到根节点的路径上所有的点染上一种没有用过的新颜色。
2 x y:求x到y的路径的权值。
3 x y:在以x为根的子树中选择一个点，使得这个点到根节点的路径权值最大，求最大权值。
Bob一共会进行m次操作

Input

第一行两个数n,m。
接下来n-1行，每行两个数a,b，表示a与b之间有一条边。
接下来m行，表示操作，格式见题目描述
1<=n,m<=100000

Output

每当出现2,3操作，输出一行。
如果是2操作，输出一个数表示路径的权值
如果是3操作，输出一个数表示权值的最大值

Sample Input

5 6

1 2

2 3

3 4

3 5

2 4 5

3 3

1 4

2 4 5

1 5

2 4 5

Sample Output

3

4

2

2

正解：$link-cut tree$+树链剖分+线段树。

这道题很巧妙啊。。利用$LCT$的神奇性质完美地解决了询问$1$的棘手操作。

首先我们注意到，询问$1$其实就是$LCT$中的$access$操作。我们可以直接维护每个点到根节点的权值，然后利用$access$操作来处理这个问题。

我们在$access$操作的时候，直接将当前点原来的实儿子所在的子树权值$+1$，当前待接上的实儿子所在子树权值$-1$，就能完美地处理这个操作了。注意，这里指的实儿子一定是在原树中深度最浅的点。我比较偷懒，就直接暴力找$splay$中深度最小的点。具体解释的话，画个图就能理解了，看下代码应该能弄懂吧。。

对于询问$2$，我们可以发现，路径上的权值就是$val[x]+val[y]-2*val[lca(x,y)]+1$。这个式子是很好画图证明的。

首先，$lca$的两个儿子颜色是不可能相同的，所以我们分两种情况讨论一下，一种是$lca$和其中一个儿子颜色相同，一种是$lca$和两个儿子颜色都不同。这样我们就能很容易地得出上述结论。

对于询问$3$，我们直接区间查询，询问子树中的权值最大值就行了。

以上操作，维护权值都是用线段树，求$lca$写树链剖分比较方便。然后我们就能$AC$此题了，虽然复杂度还是很玄学。。

第一次$bzoj \ rank1$。。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (100010)
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

struct edge{ int nt,to; }g[2*N];

int head
,n,m,num;

struct tree_cut{

int top
,fa
,son
,sz
,dep
,pos
,tid
,ed
,cnt;

il void dfs1(RG int x,RG int p){
fa[x]=p,dep[x]=dep[p]+1,sz[x]=1; RG int v;
for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt){
v=g[i].to; if (v==p) continue;
dfs1(v,x),sz[x]+=sz[v];
if (sz[son[x]]<=sz[v]) son[x]=v;
}
return;
}

il void dfs2(RG int x,RG int p,RG int anc){
top[x]=anc,tid[x]=++cnt,pos[cnt]=x;
if (son[x]) dfs2(son[x],x,anc); RG int v;
for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt){
v=g[i].to; if (v==p || v==son[x]) continue;
dfs2(v,x,v);
}
ed[x]=cnt; return;
}

il int lca(RG int u,RG int v){
while (top[u]!=top[v]){
if (dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
u=fa[top[u]];
}
return dep[u]<dep[v] ? u : v;
}

}tree;

struct segment_tree{

int mx[4*N],lazy[4*N];

il void pushdown(RG int x){
mx[ls]+=lazy[x],mx[rs]+=lazy[x];
lazy[ls]+=lazy[x],lazy[rs]+=lazy[x];
lazy[x]=0; return;
}

il void build(RG int x,RG int l,RG int r){
if (l==r){ mx[x]=tree.dep[tree.pos[l]]; return; }
RG int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]); return;
}

il void update(RG int x,RG int l,RG int r,RG int xl,RG int xr,RG int v){
if (xl<=l && r<=xr){ mx[x]+=v,lazy[x]+=v; return; }
if (lazy[x]) pushdown(x); RG int mid=(l+r)>>1;
if (xr<=mid) update(ls,l,mid,xl,xr,v);
else if (xl>mid) update(rs,mid+1,r,xl,xr,v);
else update(ls,l,mid,xl,mid,v),update(rs,mid+1,r,mid+1,xr,v);
mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]); return;
}

il int querymax(RG int x,RG int l,RG int r,RG int xl,RG int xr){
if (xl<=l && r<=xr) return mx[x];
if (lazy[x]) pushdown(x); RG int mid=(l+r)>>1;
if (xr<=mid) return querymax(ls,l,mid,xl,xr);
else if (xl>mid) return querymax(rs,mid+1,r,xl,xr);
else return max(querymax(ls,l,mid,xl,mid),querymax(rs,mid+1,r,mid+1,xr));
}

il int ask(RG int x){ return querymax(1,1,n,tree.tid[x],tree.tid[x]); }

}seg;

struct link_cut_tree{

int ch
[2],fa
;

il int isroot(RG int x){
return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
}

il void rotate(RG int x){
RG int y=fa[x],z=fa[y],k=ch[y][0]==x;
if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x;
fa[x]=z,ch[y][k^1]=ch[x][k],fa[ch[x][k]]=y;
ch[x][k]=y,fa[y]=x; return;
}

il void splay(RG int x){
while (!isroot(x)){
RG int y=fa[x],z=fa[y];
if (!isroot(y)){
if ((ch[y][0]==x)^(ch[z][0]==y)) rotate(x);
else rotate(y);
}
rotate(x);
}
return;
}

il void access(RG int x){
RG int t=0;
while (x){
splay(x);
if (ch[x][1]){
RG int y=ch[x][1]; while (ch[y][0]) y=ch[y][0];
seg.update(1,1,n,tree.tid[y],tree.ed[y],1);
}
if (t){
RG int y=t; while (ch[y][0]) y=ch[y][0];
seg.update(1,1,n,tree.tid[y],tree.ed[y],-1);
}
ch[x][1]=t,t=x,x=fa[x];
}
return;
}

}lct;

il void insert(RG int from,RG int to){
g[++num]=(edge){head[from],to},head[from]=num; return;
}

il int gi(){
RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return q*x;
}

il void work(){
n=gi(),m=gi();
for (RG int i=1,u,v;i<n;++i) u=gi(),v=gi(),insert(u,v),insert(v,u);
tree.dfs1(1,0),tree.dfs2(1,0,1),seg.build(1,1,n);
for (RG int i=2;i<=n;++i) lct.fa[i]=tree.fa[i];
for (RG int i=1,type,x,y;i<=m;++i){
type=gi(); if (type==1) x=gi(),lct.access(x);
if (type==2){
x=gi(),y=gi(); RG int Lca=tree.lca(x,y);
printf("%d\n",seg.ask(x)+seg.ask(y)-2*seg.ask(Lca)+1);
}
if (type==3) x=gi(),printf("%d\n",seg.querymax(1,1,n,tree.tid[x],tree.ed[x]));
}
return;
}

int main(){
File("paint");
work();
return 0;
}