整数划分（动态规划）

经典问题。将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+..+nk


1. 将n划分成不大于m的划分法（多个整数可以相同）

dp
[m]= dp
[m-1]+ dp[n-m][m]  dp
[m]表示：整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。

dp
[m-1]：表示划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1

dp[n-m][m]：划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分

2. 多个整数不同：

dp
[m]= dp
[m-1]+ dp[n-m][m-1]

和上一个的区别是第二项，当有一个m，剩下的数不大于m-1

3. 将n划分成k个数的划分法：

dp
[k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

dp[n-k][k]：n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可

dp[n-1][k-1]：n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可

public static int f1(int n, int m) {
int[][] dp = new int[n + 1][n + 1]; // 将n划分成不大于m的划分法（整数可以相同）
int[][] dp2 = new int[n + 1][n + 1]; // 多个整数不同
int[][] dp3 = new int[n + 1][n + 1]; // 将n划分成m个数
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 0;
dp[0][i] = 0;
dp2[i][0] = 0;
dp2[0][i] = 0;
dp3[i][0] = 0;
dp3[0][i] = 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j) {
dp[i][j] = dp[j][i];
dp2[i][j] = dp[j][i];
dp3[i][j] = 1;
} else if (i < j) {
dp[i][j] = dp[i][i];
dp2[i][j] = dp[i][i];
dp3[i][j] = 0;
} else {
dp[i][j] = dp[i][j - 1]+ dp[i - j][j];
dp2[i][j] = dp2[i][j - 1]+ dp2[i - j][j - 1];
dp3[i][j] = dp3[i - 1][j - 1]+ dp3[i - j][j];
}
}
}
return dp
[m];
}4. 将n划分成若干奇数或偶数的划分法：

g[i][j]:将i划分为j个偶数

f[i][j]:将i划分为j个奇数

g[i][j] = f[i - j][j];

i中拿出j个1分到每一份中，将剩余的i-j分成j个奇数

f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];

一份包含奇数1，剩余的i-1分成j-1个奇数；另一种，每份至少大于1，将j个1拿出来分到每一份中，其余i-j分成j份

public static int f4(int n, int m) {
int[][] g = new int[n + 1][n + 1];
int[][] f = new int[n + 1][n + 1];

g[0][0] = 1;
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
g[i][j] = f[i - j][j];
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
}
}
return g
[m];
}

原文链接：http://blog.csdn.net/athenaer/article/details/8265234