2017 Wuhan University Programming Contest (Online Round) E. Lost in WHU（矩阵快速幂）

Lost in WHU

题目链接：Lost in WHU

ps：比赛前几天离散课上刚讲过，还特意划了重点。。。结果还是没想到矩阵快速幂。。。

题意：给出多对数，每一对数代表这两点之间有一条无向路可以走，然后给出一个时间t，问在t时间内从1到n的路径有多少条

思路：构建邻接矩阵，A（i，j）代表i到j时间为1的路的数目，A^2（i，j）代表i到j时间为2的路的数目……..

但是正常的矩阵最后算出来的是从1到n走t时间的路径的数目，所以初始矩阵中加了一个mat

=1，它的作用就是把＜t时间的路径也加起来

解释一下它：

比如说有这样一组数据

1 4

1 2

2 3

2 4

3 4

3

然后构造初始矩阵A

0 1 0 1

1 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

上面的mat[1]
代表1到n需要走1单位时间的路径有几条

然后是矩阵A^2

1 0 1 2

0 2 0 3

1 0 1 2

0 0 0 1

这里第一行代表点1到点j需要走2单位时间的路径有几条

最后一列代表点i到点n需要走<=2单位时间的路径有几条（这里就是令mat

=1的妙处了）

矩阵A^3

0 2 0 4

2 0 2 5

0 2 0 4

0 0 0 1

在矩阵A^3中mat[1]
=4，所以答案就是4了（具体详见代码）

代码：

#include<stdio.h>

typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=102;
struct Matrix
{
LL mat[maxn][maxn];
};
Matrix unit_matrix,arr;//单位矩阵
LL n,m,k;

Matrix mul(Matrix a,Matrix b)//矩阵相乘
{
Matrix res;
for(LL i=1; i<=n; ++i)
for(LL j=1; j<=n; ++j)
{
res.mat[i][j]=0;
for(LL k=1; k<=n; ++k)
res.mat[i][j]=(res.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
}
return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a)//矩阵快速幂
{
Matrix res=unit_matrix;
while(k)
{
if(k&1)
res=mul(res,a);
a=mul(a,a);
k>>=1;
}
return res;
}

int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(LL i=1; i<=n; ++i)
for(LL j=1; j<=n; ++j)
unit_matrix.mat[i][j]=(i==j);
LL x,y;
for(LL i=1; i<=m; ++i)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
arr.mat[x][y]=arr.mat[y][x]=1;//构造初始矩阵
if(y==n)//到n之后就不能再走了，所以去掉n到其他点的路径
arr.mat[y][x]=0;
if(x==n)//同理
arr.mat[x][y]=0;
}
arr.mat

=1;//计算的是<=k步的路径总数
scanf("%lld",&k);
Matrix ans=pow_matrix(arr);
printf("%lld\n",ans.mat[1]
);
return 0;
}