poj 1160 Post Office （四边形不等式优化DP）

题目描述

传送门

题目大意：给出n个村庄及每个村庄的位置，要建m个邮局，是每个村庄到离他最近的邮局的总距离最小。

题解

四边形不等式优化DP

假设要在[l,r]村庄中建一个邮局，要使代价最小，那么村庄一定建在第(l+r)/2个村庄。这个根据中位数之类的可以证明。

预处理出w[i,j]表示i到j建一个邮局的最小代价，可以的到递推式w[i,j]=w[i,j−1]+dis[j]−dis[(j+i)/2]

分析加画图可以发现，中间点的位置每次最多向后移动一位，对于i…j-1这些位置来说到达中点的路径总和实际是不变的。

那么这道题就可以列出DP的式子f[j,i]=min(f[k,i−1]+w[k+1,j])

这个式子是满足决策单调性的，所以可以用四边形不等式进行优化，使时间复杂度从O(n^3)降到O(n^2).

那么到底什么样的式子可能满足决策单调性呢?

f(i,j)=min{f(i,k)+f(k+1,j)}+w[i][j]

现在给出相关的定理：

(1)对于函数w[i][j],若w[i][j]+w[i′][j′]<=w[i][j′]+w[i′][j] i<=i′<=j<=j′,则w满足凸多边形不等式，我一般直接记成交叠的小于等于包含的。

(2)对于函数w[i][j],若w[a,b]<=w[c,d] c<=a<=b<=d ，那么我们称w关于区间包含状态单调。

定理1：w满足凸多边形不等式和区间包含状态单调，那么dp也满足四边形不等式。

定理2：最优决策k[i][j]满足k[i][j−1]<=k[i][j]<=k[i+1][j] ，这是四边形不等式优化DP的关键，利用这个定理可以每次缩小k的枚举范围，并且有贡献的k是一个关于区间的定向移动，有点类似单调队列吧，可以使时间复杂度从O(n^3)降到O(n^2)

定理3：w为凸当且仅当w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i+1][j]+w[i][j+1]

定理3其实告诉我们验证w是否为凸的方法，就是固定一个变量，然后看成是一个一元函数，进而判断单调性。

如，我们可以固定j算出w[i][j+1]−w[i][j]关于i的表达式，看它是关于i递增还是递减，如果是递减，则w为凸

在实际的应用中我们往往不能用数学方法证明w为凸，不过我们可以通过打表找规律的方法来发现DP的决策单调性。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 1003
#define inf 1000000000
using namespace std;
int s[N][N],dp[N][N],w[N][N],n,m,dis
;
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&dis[i]);
for (int i=1;i<=n;i++) {
w[i][i]=0;
for (int j=i+1;j<=n;j++)
w[i][j]=w[i][j-1]+dis[j]-dis[(i+j)/2];
}
for (int i=1;i<=n;i++) dp[i][1]=w[1][i],s[i][1]=0;
for (int i=2;i<=m;i++) {
s[n+1][i]=n;
for (int j=n;j>i;j--) {
dp[j][i]=inf;
for (int k=s[j][i-1];k<=s[j+1][i];k++) {
int t=dp[k][i-1]+w[k+1][j];
if (t<dp[j][i]) dp[j][i]=t,s[j][i]=k;
}
}
}
printf("%d\n",dp
[m]);
}