PASCAL定理的400多个特例的验证

 
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PASCAL定理的400多个特例的自动验证

     说明： 这里是指射影几何中有关“圆锥曲线（注：指射影几何中称2阶点列）上任意六点连成的六边形（hexagon，或六角形）三对对边交的交点在一直线上”的定理。Pascal定理是一个内容非常丰富的定理，它适用于400多种情况，这是17世纪法国数学家Pascal十六岁时提出但可能未被证明或完全证明的定理. 当今书上或网上对Pascal定理的证明已有许多，但看来没有一种证明说得上理想与完善。许多不完善的地方也是概念未讲清，或采用非射影几何的方法来证明，我在博客【1】中曾指出它们的不足：

    

      1. 只就一种圆锥曲线类型进行证明，且大多是以椭圆甚至圆为特例来证明，而不说明圆锥曲线还有抛物线、双曲线等其他类型。要补救这一点或许很容易，但至少应该交待一下；

      2. 圆锥曲线上六个点（如1,2,3,4,5,6六点，或A,B,C,D,E,F六点）有6！=720种排列方式，能组成720/(2*6)=60种不同形状的6边形（或6角形，Hexagons，即由六个顶点依次相连构成的回路），见下面图1，但定理往往只就其中的一种hexagon进行证明了事，且大多是以下图左上角的、由顺时针排列为123456确定的简单六边形（即各边互不相交的凸六边形）或由第5行第一列、由排列136425确定的、边边间共有7个交点的hexagon为特例来证明，而不考虑其他排列方式下的六边形是否也成立；甚至不讲清6个点一共有60个不同形式的六边形，是怎样的60种排列方式，更不谈怎样来产生它们。



图1. 椭圆上6个点可以形成60种不同的6边形（hexagon）。要证明Pascal定理，就要证明它对所有这些6边形都成立。且对6点分布在双曲线、抛物线等情况下也成立。

      3. 不交代各种不同排列的6边形中，点在圆锥曲线上分布疏密也是无关的，上图中的6点是均匀分布在圆锥曲线椭圆上的，但不管均匀或疏密如何，定理均成立，这一点通常也不提。

      4. 没有说明圆锥曲线在射影几何中是两个射影对应的一阶线束对应射线交点的轨迹，或是两个射影对应点列对应点连线的包络，而通常总是将它作为解析几何的二次曲线对待。

      5. 定理还适用于六边形的6点中有重点（几个相邻的点合在一起）的情况，有了重点，6边形退化为5边形、4边形、3边形等多种形式，一般证明都不考虑它们。

      6. 不知道Pascal定理是射影几何中的定理，在射影几何中Pascal定理没有任何例外地全都成立，而在欧氏几何中、或用欧氏几何眼光看待射影几何中的图形，如上图左上角的六边形，定理就不成立了，因为三对对边都相互平行，根本没有一个交点。只有在射影几何下，平行直线就是相交于无穷远点。只有在射影几何下，任意两条直线都有一个交点，真像任意两点都可连成一条线一样。这一点至少应该声明一下才对，否则定理就会遇到许多不成立的例外情况。  

      7. 即使在射影几何中，当三组对边每组都是两条平行线时，问题也不那么容易理解，因为此时有三个不同方向的无穷远点，其中任意2个无穷远点，根据2点决定一条直线的原则，可决定一条无穷远直线，这样三个方向不同的无穷远点是在它们2-2之间形成的三条无穷远直线上，不在同一条无穷远直线上，因而断定定理这时不成立。要理解这一点，就牵涉到平面射影几何的模型了，实际上，在射影几何的各种模型中，并没有三条无穷远直线，而是同一条无穷远直线！要弄清这一点，就要求我们去研究射影几何的各种解释模型或公理系统。



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