51Nod-1225-余数之和

ACM模版

描述

题解

对于数论只会打表找规律的我来说，我一上来就打了一张表，然后发掘其中的规律……没法子，脑子跟不上，推不出来规律，只能找规律。



通过这个表我们可以发现：

从第100项到51项是等差数列0~49，base = 1；

从第50项到34项是等差数列0~32，base = 2；

从第33项到26项是等差数列1~22，base = 3；

……

所以我们可以发现，这是由项数递减的若干等差数列构成的，而这个项数满足

N - x = st + base * x

，化简也就是说项数

x = (N - st) / (base + 1)

，这里需要注意的是向上取整才行，至于为什么，自己模拟试试就知道了，另外还需要注意的是这里可能会超 long long，所以需要用到乘法逆元，也就是 2 对 MOD 的逆元，因为求等差数列的和时涉及到了一个除以 2 的操作，在这里，由于只用到了这一个逆元，所以直接 const 一个值表示它即可，也就是 5e8 + 4，GG！

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;
const int MOD_2 = 5e8 + 4;

int main(int argc, const char * argv[])
{
long long N, M;
cin >> N;
M = N;

long long res = 0;
long long base = 1;
long long st = 0;
long long x, ed;

while (M > 0)
{
x = (M - st) / (base + 1);
if (x == 0)
{
break;
}
if ((base + 1) * x != M - st)    //  向上取整
{
x++;
}

ed = st + (x - 1) * base;

res = (res + ((st + ed) % MOD * (x % MOD)) % MOD * MOD_2 % MOD) % MOD;

M -= x;
if (M == 0)
{
break;
}

st = (ed + base) % M;
base++;
}

for (int i = 1; i <= M; i++)
{
res = (res + N % i) % MOD;
}

cout << res << '\n';

return 0;
}