【bzoj1597】[Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

第1行: 一个数: N

第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4

100 1

15 15

20 5

1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500。

题解

斜率优化的那一套理论，你们比谁都熟悉。

按照x(长)y(宽)从小到大排序，如果一块土地能被另一块土地完全包含，那么自然它就不需要考虑了。

这样子处理之后显然可以得到一个x递增y递减的序列。

设fi为买下1…i的所有土地所花费的最小费用，那么显然：fi=min{fj+yj+1xi}。

设k<j，如果fi由fj转移而来更优，那么fj+yj+1xi<fk+yk+1xi，再移项，得到：xi>fj−fkyk+1−yj+1

这样维护一个关于这个斜率的单增队列，对于每个xi找到大于它的第一个斜率（前面小于它的全部出队），其j就是最佳转移。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)) { if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}

typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 50000 + 10;
struct Node{
ll x, y;
}a
;
inline int cmp(Node a, Node b){
return a.x == b.x && a.y < b.y || a.x < b.x;
}
int n, tot, q
;
ll x
, y
, f
;
inline db slope(int j, int k){
return (db)((f[j] - f[k]) / (y[k+1] - y[j+1]));
}

void init(){
n = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) a[i].x = read(), a[i].y = read();
sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
for(int i = 1; i <= n; i++){
while(tot && a[i].y >= y[tot]) tot--;
x[++tot] = a[i].x, y[tot] = a[i].y;
}
}

void work(){
int l = 0, r = 0;
for(int i = 1; i <= tot; i++){
while(l < r && x[i] > slope(q[l+1], q[l])) l++;
f[i] = f[q[l]] + y[q[l]+1] * x[i];
while(l < r && slope(i, q[r]) < slope(q[r], q[r-1])) r--;
q[++r] = i;
}
printf("%lld\n", f[tot]);
}

int main(){
init();
work();
return 0;
}