杜教筛 51Nod_P1244 莫比乌斯函数求和

题目大意：

求：



2<=a<=b<=10^10

题目分析：

首先这道题很显然可以拆成两个前缀和相减的形式，即如何求：∑（1<=i<=n）μ(i)

当n很小的时候，我们只要线性筛一下莫比乌斯函数就可以了。

但是这道题数据范围很大，所以就要考虑杜教筛。



我们所求即为f（n）







中间那步不懂的小伙伴看这里：

对于第一个等号后面那个式子，相当于先枚举i，再枚举i的约数，然后求和。

于是这一步就相当于：



此处的x*d就相当于上一个式子中的 i，x相当于d|i时的i/d，即i的另一个约数。

我们枚举这个x，当x固定时，为了满足x*d<=n，d只能枚举到n/x。

即：


我们用i来替换里面的x就得到了第二个等号后的式子。

这里就是这么转化过来的。

所以我们所求就转化成了：



这样我们先筛除一部分f（n），然后根据n/i的值对i进行分块，递归处理f（n/i）。

这个也可以记忆化一下，可以自己写hash，C++选手可以用map。

时间复杂度O（n^(2/3)) （如果用map的话还要乘个log，话说这个2/3次方时怎么出来的真心不知道啊QAQ)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <map>
#include <iostream>
#define N 20000000
using namespace std;
long long a,b,n;
int mu[N+10],pri[1300010],top;
bool mark[N+10];
map<long long,long long>V;
void shake()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])
{
pri[++top]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=top && i*pri[j]<=N;j++)
{
mark[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j]==0) break;
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=2;i<=N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
long long calc(long long x)
{
if(x<=N) return mu[x];
if(V[x]) return V[x];
long long ans=1;
for(long long i=2,r;i<=x;i=r+1)
{
r=x/(x/i);
ans-=calc(x/i)*(r-i+1);
}
V[x]=ans;
return ans;
}
int main()
{
shake();
cin>>a>>b;
cout<<calc(b)-calc(a-1)<<endl;
return 0;
}