HFUTOJ problem 1343实现总结

题目

First Blood

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Description

盖伦是个小学一年级的学生，在一次数学课的时候，老师给他们出了一个难题：

老师给了一个正整数 n，需要在不大于n的范围内选择三个正整数(可以是相同的)，使它们三个的最小公倍数尽可能的大。盖伦很想第一个解决这个问题，你能帮助盖伦拿到“first blood”吗？

Input

首先是一个正整数T，表示有T组测试数据

每组测试数据是一个正整数n(1<=n<=10^6)

Output

对于每组测试数据，输出最大的最小公倍数，每个输出单独占一行

Sample Input

2

9

7

Sample Output

504

210

Source

安徽省2015年“京胜杯”大学生程序设计竞赛

思路

刚开始想的时候是这样的：

- 如果输入n是个奇数，那么结果一定是n*(n-1)*(n-2)，因为n与n-1一定互质，n-1与n-2一定互质，那么只要n与n-2互质，这样算出来结果就一定是最大的，而n是奇数，所以n与n-2的公因子gcd必然不含2，之后如果gcd再变大也不可能是n和n-2的公因子，因为n-(n-2)一定大于gcd了。

- 如果n是偶数，那么n与n-2就有公因子2，n与n-2不互质，所以无法取得最大公倍数，那么这里就取n，n-1，n-3就可以了。

- n小于2的时候要单独算结果，因为按上面的想法计算的话会有0结果。

结果是这样的

#include <iostream>
using namespace std;
int main(void)
{
int TestTimes = 0;
cin >> TestTimes;
while (TestTimes--)
{
int INPUT = 0;
cin >> INPUT;
if (INPUT == 1)
cout << "1" << endl;
else if (INPUT == 2)
cout << "2" << endl;
else if (INPUT == 3)
cout << "6" << endl;
else if (INPUT % 2)
cout << INPUT * (INPUT - 1) * (INPUT - 2) << endl;
else
cout << INPUT * (INPUT - 1) * (INPUT - 3) << endl;
}
return 0;
}

保（lan）险（de）起（suan）见，我还把n=3的情况也顺便单独拉出来了。

结果错了。。。。。。

因为没有考虑在n为偶数的情况下n与n-3会不会是3的倍数，而换个角度考虑，如果验证的话那么就会陷入n-4、n-5…的死循环中。因此为了解决第三个数究竟应该是多少，我写了个验证互质的函数，然后从n-2开始向下遍历，直到找到与n(n-1)互质的数为止。同时，由于担心这种算法会超时，我在开始遍历之前把num预先变成奇数，然后num-=2遍历，这样时间就可以直接减半。

结果是这样的

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool cheak(int a, int b) {                    // a > b
if (b == 1) return true;
/*int num = a % b;
if (!num) return false;
if (num == 1) return true;
cheak(max(b, num), min(b, num));*/
while (b != 0) {
int temp = b;
b = a%b;
a = temp;
}
if (a == 1)    return true;
else        return false;
}

int main(void){
int TestTimes = 0;
cin >> TestTimes;
while (TestTimes--){
int INPUT = 0;
cin >> INPUT;
if (INPUT == 1)            cout << "1" << endl;
else if (INPUT == 2)    cout << "2" << endl;
else {
int num = INPUT - 1;
if (!(num % 2) && cheak(INPUT*(INPUT - 1), --num)) {
cout << INPUT * (INPUT - 1) * num << endl;
continue;
}
while (num -= 2)
if (cheak(INPUT*(INPUT-1), num)/* && cheak(INPUT - 1, num)*/)
break;
cout << INPUT * (INPUT - 1) * num << endl;
}
}
return 0;
}

虽然做了时间优化，但是还是超时了（这时间尼玛扣得真死 = =）。

没办法，只能去网上找了解答。在看过一个超级高级的算法后我不禁陷入了懵逼，因为完全看不懂

长这样的：

算法描述

任意正整数v与v-1必定互质，v*（v-1）为两个数最小公倍数的最大值，v由最大范围n选起；

再选一数u,由于两数的最小公倍数与最大公约数之积等于两数之积，因此最小公倍数表示为(v*（v-1）u)/gcd(v(v-1),u)，故在V选定的情况下最小公倍数的大小由u/gcd(v*(v-1),u)决定，因此u不能与v或v-1相同，u由v-2开始选取，直到v(v-1)*u < max_lcm为止(因为最小公倍数的最大值为三个数的乘积)，记录这期间的最大的最小公倍数值max_lcm；

v值减一，若max_lcm < v*(v-1)(v-2),则u由v-2开始再进行一次第2步，完成后max_lcm 与 v(v-1)*(v-2)比较，直到不满足“<”，输出max_lcm。

注意事项

注意特殊值

n=1时，v-1,v-2不存在，max_lcm=1；

n=2时，v-2不存在，max_lcm=2；

shenmegui！！！(╯‵□′)╯︵┻━┻

完全看不懂啊！！！(╯‵□′)╯︵┻━┻

既然看不懂自然也没法实现了。。。起码我没法用这个算法自己写个程序出来，哪怕是用背的都不行。。。。

好几天之后，我终于在网上找到了个神奇的算法：

思路：

记住n是奇数结果就是 n*(n-1)*(n-2);

n时偶数且不是3的倍数 n*(n-1)(n-3); 是3的倍数 (n-1)(n-2)*(n-3)

用long long保存

？？？

嗯，我也不能理解，原因在于这算法乍看起来和我的没啥区别，但是能过。。。。区别在于，在我上面碰到无限验证的循环之后。。。他没有用n*(n-1)?这样的算法了，而是用了(n-1)(n-2)*(n-3)。。。

？？？？？？

我不能理解啊，问了别人这是为啥，结果得到的答案是“这是数学常识，记住就好了”。

？
b64a
？？？？？？？

这数学常识颠覆了我20年的世界观啊。。。。。从来没听说过这玩意啊。。。。

虽然我最后还是靠这个算法过了，但是我至今仍未能理解。。。

我可能需要个高数老师来帮帮我。。。

结果

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int TestTime = 0;
long long num = 0;
cin >> TestTime;
while(TestTime--){
cin >> num;
if (num <= 2)   cout << num << endl;
else if (num%2) cout << num*(num-1)*(num-2) << endl;
else if (num%3) cout << num*(num-1)*(num-3) << endl;
else        cout << (num-1)*(num-2)*(num-3) << endl;
}
return 0;
}

p.s 不知道为啥，只要我把num的定义放在循环体里面，就会有结果错误，又是个我不能理解的迷。。。。。