NYOJ—一笔画问题（欧拉回路）

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。

每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P <=1000,Q <=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）

随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0 < A,B < P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出”Yes”,

如果不存在符合条件的连线，输出”No”。

样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

分析：

我当时做到这题的时候并没有往欧拉回路上去想，只是想单纯的用DFS来解决，就有了下面的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int V,E;            //顶点数V,边数E
vector<int> d[maxn];//用vector来实现邻接链表
int p[maxn][maxn];  //用记忆化
int k;              //k为dfs的次数，如果k=E，那么便可以一笔画

void dfs(int s)
{
for(int i=0;i<d[s].size();i++)
{

if(p[s][d[s][i]] == 1 && p[d[s][i]][s] == 1)
{
continue;
}
k++;
p[s][d[s][i]] = p[d[s][i]][s] = 1;
dfs(d[s][i]);
}
if(k!=E)
k = k-1;       //注意要回到前一个状态
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(d,0,sizeof(d));
scanf("%d%d",&V,&E);
int s,t;
for(int i=0;i<E;i++)
{
scanf("%d%d",&s,&t);
d[s].push_back(t);
d[t].push_back(s);
}
int ok = 0;
for(int i=1;i<=V;i++)
{
memset(p,0,sizeof(p));
k=0;
dfs(i);
if(k==E)
{
ok = 1;
break;
}
}
if(ok) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}
/*虽然AC过去了，但是时间复杂度非常高，所以需要找一个更好的方法。*/

一笔画问题是离散数学中的一个经典问题，这样便便涉及到了图论中的一个重要的一个类型——欧拉回路。

后来就去查了一下欧拉回路的一些文章。

一笔画图形必须符合两个条件：1.图必须是连通的。2.奇点数目是0或者2。

而数学家欧拉找到一笔画的规律是：

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

所以我们这一题另一个思路是先判断一个图是否为连通图，如果不是，那么直接输出“No”；如果是，那么就需要再判断每一个顶点的度数，如果奇点的数目为0或2则输出”Yes”，否则输出”No”。

**这里判断无向图是否连通运用了并查集这个技巧。

（并查集的实现参考博客：

http://blog.csdn.net/dellaserss/article/details/7724401/

写得不是一般的好啊！我什么时候能写出来那么好的博客呢？QAQ）

最后的实现代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int V,E;
int d[maxn];          //记录每个顶点的度数
int pre[maxn];

/*初始化*/
void init()
{
for(int i=1; i<=V; i++)
{
pre[i] = i; //父节点为自己
d[i] = 0;   //度数为0
}
}

/*查找根节点*/
int find(int x)
{
int r = x;
while(r!=pre[r])
r = pre[r];

int i = x,j;  //路径压缩
while(i != r)
{
j = pre[i];
pre[i] = r;
i = j;
}
return r;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
init();
scanf("%d%d",&V,&E);
int s,t;
for(int i=0;i<E;i++)
{
scanf("%d%d",&s,&t);
int fx = find(s);
int fy = find(t);
if(fx != fy)
{
pre[fx] = fy;
}
d[s]++;
d[t]++;
}
int k = 0;//图中奇度点的个数
int ok = 0;
for(int i=1;i<=V;i++)
{
if(pre[i] == i)
{
ok++;
}
if(d[i]%2==1)
{
k++;
}
}
if(V == 1) printf("Yes\n");
else{
if(ok == 1 && (k == 0 || k == 2))
{
printf("Yes\n");
}
else{
printf("No\n");
}
}
}
return 0;
}