【SDOI2016】bzoj4515 游戏

Description Alice 和 Bob 在玩一个游戏。 游戏在一棵有 n 个点的树上进行。最初，每个点上都只有一个数字，那个数字是

123456789123456789。 有时，Alice 会选择一条从 s 到 t

的路径，在这条路径上的每一个点上都添加一个数字。对于路径上的一个点 r， 若 r 与 s 的距离是 dis，那么 Alice 在点 r

上添加的数字是 a×dis+b。有时，Bob 会选择一条从 s 到 t 的路径。 他需要先从这条路径上选择一个点，再从那个点上选择一个数字。

Bob 选择的数字越小越好，但大量的数字让 Bob 眼花缭乱。Bob 需要你帮他找出他能够选择的最小的数字。 Input 第一行两个数字

n、m，表示树的点数和进行的操作数。 接下来 n−1 行，每行三个数字 u、v、w，表示树上有一条连接 u、v 的边，长度是 w。 接下来

m 行。每行第一个数字是 1 或 2。 若第一个数是 1，表示 Alice 进行操作，接下来四个数字 s、t、a、b。 若第一个数是

2，表示 Bob 进行操作，接下来四个数字 s、t。 Output

每当 Bob 进行操作，输出一行一个数，表示他能够选择的最小的数字

首先考虑序列上的问题，操作包括插入线段和询问区间最低点。用线段树来维护，线段树的每个节点存放一条线段和最优值。插入新线段的时候，先和普通的线段树区间修改一样找到要修改的位置，如果当前线段完全优直接换掉，完全劣直接舍去。否则根据图像可以发现，这两个线段一定有一个覆盖了一半多的区间【也就是在中点更优的那个】。把它放在这个节点，另外一个递归进入对应子树修改。在这个过程中顺便维护最优值。询问的时候就和普通的线段树一样了，但是注意这里不是简单的区间合并，在每个节点都要用当前线段更新答案。

放在树上也一样，只需要剖分一下。对于修改(s,t,a,b)在LCA点u处拆成两条链，分别是(s,u):y=−a∗dis[x]+a∗dis[s]+b和(t,u):y=a∗dis[x]+a∗dis[s]−2a∗dis[u]+b，其中dis[i]表示i到根的距离。把dis[x]看成线段的横坐标就行了。因为边权是正的，一段链上的dis值一定是递增的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const LL oo=123456789123456789LL;
const int maxn=100010;
int rd()
{
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9')
{
if (c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while (c>='0'&&c<='9')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
struct Segment
{
LL k,b;
LL cal(LL x)
{
return k*x+b;
}
}low[2000010];
int fir[maxn],ne[2*maxn],to[2*maxn],w[2*maxn],
size[maxn],pos[maxn],top[maxn],fa[maxn][20],son[maxn],dep[maxn],
n,q,clo,lim;
LL dis[maxn],d2[maxn],mn[2000010];
int cmp(Segment s1,Segment s2,LL x)
{
return s1.cal(x)<s2.cal(x);
}
void add(int num,int u,int v,int x)
{
ne[num]=fir[u];
fir[u]=num;
to[num]=v;
w[num]=x;
}
void dfs1(int u)
{
int v;
size[u]=1;
for (int i=fir[u];i;i=ne[i])
if ((v=to[i])!=fa[u][0])
{
fa[v][0]=u;
dep[v]=dep[u]+1;
dis[v]=dis[u]+w[i];
dfs1(v);
size[u]+=size[v];
if (!son[u]||size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
}
}
void dfs2(int u)
{
int v;
pos[u]=++clo;
if (son[u])
{
top[son[u]]=top[u];
dfs2(son[u]);
}
for (int i=fir[u];i;i=ne[i])
if ((v=to[i])!=fa[u][0]&&v!=son[u])
{
top[v]=v;
dfs2(v);
}
}
int lca(int u,int v)
{
if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
for (int k=lim;k>=0;k--)
if (dep[u]-(1<<k)>=dep[v])
u=fa[u][k];
if (u==v) return u;
for (int k=lim;k>=0;k--)
if (fa[u][k]!=fa[v][k])
{
u=fa[u][k];
v=fa[v][k];
}
return fa[u][0];
}
void build(int p,int L,int R)
{
low[p]=(Segment){0,oo};
mn[p]=oo;
if (L<R)
{
int mid=L+R>>1;
build(p<<1,L,mid);
build(p<<1|1,mid+1,R);
}
}
void init()
{
int u,v,x;
n=rd();
q=rd();
for (int i=1;i<n;i++)
{
u=rd();
v=rd();
x=rd();
add(i<<1,u,v,x);
add(i<<1|1,v,u,x);
}
dep[1]=1;
dfs1(1);
top[1]=1;
dfs2(1);
for (int i=1;i<=n;i++) d2[pos[i]]=dis[i];
for (int k=1;(1<<k)<=n;k++) lim=k;
for (int k=1;k<=lim;k++)
for (int i=1;i<=n;i++)
fa[i][k]=fa[fa[i][k-1]][k-1];
build(1,1,n);
}
void down(int p,int L,int R,Segment s1)
{
mn[p]=min(mn[p],min(s1.cal(d2[L]),s1.cal(d2[R])));
if (L==R)
{
if (cmp(s1,low[p],d2[L])) low[p]=s1;
return;
}
int mid=L+R>>1,cl,cr,cm;
cl=cmp(s1,low[p],d2[L]);
cr=cmp(s1,low[p],d2[R]);
cm=cmp(s1,low[p],d2[mid]);
if (cl==cr)
{
if (cl) low[p]=s1;
}
else
{
if (cm)
{
if (cl) down(p<<1|1,mid+1,R,low[p]);
else down(p<<1,L,mid,low[p]);
low[p]=s1;
}
else
{
if (cl) down(p<<1,L,mid,s1);
else down(p<<1|1,mid+1,R,s1);
}
}
}
void modify(int p,int L,int R,int l,int r,Segment s1)
{
mn[p]=min(mn[p],min(s1.cal(d2[max(L,l)]),s1.cal(d2[min(R,r)])));
if (l<=L&&R<=r)
{
down(p,L,R,s1);
return;
}
int mid=L+R>>1;
if (l<=mid) modify(p<<1,L,mid,l,r,s1);
if (r>mid) modify(p<<1|1,mid+1,R,l,r,s1);
}
void Modify(int v,int u,Segment s1)
{
while (top[v]!=top[u])
{
modify(1,1,n,pos[top[v]],pos[v],s1);
v=fa[top[v]][0];
}
modify(1,1,n,pos[u],pos[v],s1);
}
LL query(int p,int L,int R,int l,int r)
{
if (l<=L&&R<=r) return mn[p];
int mid=L+R>>1;
LL ans=oo;
if (l<=mid) ans=min(ans,query(p<<1,L,mid,l,r));
if (r>mid) ans=min(ans,query(p<<1|1,mid+1,R,l,r));
ans=min(ans,low[p].cal(d2[max(l,L)]));
ans=min(ans,low[p].cal(d2[min(r,R)]));
return ans;
}
LL Query(int u,int v)
{
LL ret=oo;
while (top[u]!=top[v])
{
if (dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
ret=min(ret,query(1,1,n,pos[top[u]],pos[u]));
u=fa[top[u]][0];
}
if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
ret=min(ret,query(1,1,n,pos[v],pos[u]));
return ret;
}
void solve()
{
int opt,s,t,a,b,u;
opt=rd();
if (opt==1)
{
s=rd();
t=rd();
a=rd();
b=rd();
u=lca(s,t);
Modify(s,u,(Segment){-a,a*dis[s]+b});
Modify(t,u,(Segment){a,a*dis[s]-2*a*dis[u]+b});
}
else
{
s=rd();
t=rd();
printf("%lld\n",Query(s,t));
}
}
int main()
{
/*freopen("menci_game.in","r",stdin);
freopen("menci_game.out","w",stdout);*/
init();
while (q--) solve();
}