DP经典应用（三）最长公共子序列LCS问题

最长公共子序列问题

问题描述：

给定两个字符串 s1,s2,…..sn 和 t1,t2,….tm。求出这两个字符串最长的公共子序列的长度。

样例输入：

4

4

a b c d

b e c d

样例输出：

3

分析：

按照3个步骤：

1.刻画最优解结构特征：

定义dp[i][j]为s1,….si 与 t1,…tj 的最长公共子序列长度。

2.递归地定义最优解的值：

对于序列s1,….sn 和 t1,…,tj 两个序列的最长公共子序列有三种情况：

(1).当s[i+1] 等于 t[j+1] ,那么在s1…si 和 t1…tj的公共子序列末尾追加上s[i+1]。

(2).s1…si 和 t1…tj+1的公共子序列。

(3).s1…si+1 和 t1…tj 的公共子序列。

那么便有如下递推关系

dp[i+1][j+1] =

max(dp[i][j]+1,dp[i][j+1],dp[i+1][j]) (si+1 = sj+1)

max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]) （其他）

-3.计算最优解的值（递推）

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
char s1[maxn],s2[maxn];
int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]为s11...s1i和s21....s2j对应的LSC长度

int main()
{
scanf("%s",s1);
scanf("%s",s2);
int m = strlen(s1);
int n = strlen(s2);
for(int i = 0; i < m; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
if(s1[i] == s2[j])
{
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;
}else{
dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1], dp[i+1][j]);
}
}
}
printf("%d\n",dp[m]
);
return 0;
}