Trailing Zeroes (III) LightOJ - 1138 （数论，求n! 中某个数的个数）

You task is to find minimal natural number N, so that N! contains exactly Q zeroes on the trail in decimal notation. As you know N! = 1*2*…*N. For example, 5! = 120, 120 contains one zero on the trail.

Input

Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case contains an integer Q (1 ≤ Q ≤ 108) in a line.

Output

For each case, print the case number and N. If no solution is found then print ‘impossible’.

Sample Input

3

1

2

5

Sample Output

Case 1: 5

Case 2: 10

Case 3: impossible

首先可以发现有规律，每当出现5的倍数的时候就会出现0，因为它前面肯定有2的倍数。

正规题解：

根据算术基本定理，可以得到x = 2 ^ a *３＾ｂ＊５＾ｃ．．．．

只有当2 和 5 出现的时候才能出想0，因为2 的个数肯定比5多，所以对于每个5，都能使结果多一个0。于是只要求到n! 中有多少个5 个数，但是对于n! 来讲，无法直接求到它的值，需要通过一些方法来解决；

用到了一个数论知识：

若p是质数，p<=n，则n!是p的倍数，设p^x是p在n!内的最高幂，则

x=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+…………;

而且[n/(ab)]=[[n/a]/b]；

转自

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<algorithm>

#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 1000007  // 1e6+7

using namespace std;

int solve(ll n)  // 找出 1 到  n 有多少个 5 。根据数论知识
{
ll ans = 0;

while( n )
{
ans += n / 5;
n /= 5;
}

return ans;
}
int find(ll n)
{
ll l = 1;
ll r = 1e12;
ll ans = -1;
ll mid;
while( l <= r)
{
mid = ( l + r) / 2;

int tmp = solve( mid );

if  ( tmp < n)
{
l = mid + 1;
}
else if( tmp == n)
{
ans = mid;
r = mid - 1;
}
else if( tmp > n)
r = mid - 1;

}
return ans;
}

int main()
{
int t;
ll n;
scanf("%d",&t);
for(int i = 1; i <= t; i ++)
{
scanf("%lld",&n);

ll ans = find(n);

if( ans == -1)
printf("Case %d: impossible\n",i);
else printf("Case %d: %lld\n",i,ans);

}
return 0;
}