【bzoj3142】[Hnoi2013]数列

题目链接

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1) < N。

小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。

输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16

【样例解释】

输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：

{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

题解

考虑把序列差分一下：a[i]=v[i+1]−v[i]

如果我们确定了一个a序列，显然可以产生n−∑k−1i=1a[i]种可能，即为a[1]的取值可能数。

这样的a序列显然有mk−1种。

那么我们可以把答案写成：ans=mk−1n−∑∑i=1<
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span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.279em;">k−1a[i]

考虑展开这个式子：ans=mk−1n−∑a[1]=1m∑a[2]=1m∑a[3]=1m…∑a[k−1]=1m(a[1]+a[2]+a[3]+⋯+a[k−1])

发现每个a[i]是完全独立的，所以说一个a[i]的每个取值会出现mk−2次所以式子可以化简为：

ans=mk−1n−m(m+1)2mk−2(k−1)

可以直接快速幂计算了。

注意k=1的特殊情况，答案即为n。

计算答案的时候注意一边算就要一遍mod，否则很容易超long long。

因为有减法，在最后一次mod之前要加上p。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, k, m, p, ans;

void init(){
scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &k, &m, &p);
}

ll poww(ll a, ll b){
ll cnt = 1;
while(b){
if(b & 1) cnt = (cnt * a) % p;
a = (a * a) % p;
b >>= 1;
}
return cnt;
}

void work(){
if(k == 1) printf("%lld\n", n % p);
else{
ans = (n % p * poww(m, k-1) % p - m * (m + 1) / 2 % p * poww(m, k-2) % p * (k - 1) % p + p) % p;
printf("%lld\n", ans);
}
}

int main(){
init();
work();
return 0;
}