[WerKeyTom_FTD的模拟赛]Sone0
2017-04-06 09:28
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题目描述
有一颗n个节点的树,每个节点有编号与权值。有m次操作,每种操作都有独特的编号。编号为1的操作,会切断当前树上存在的一条边,并新加一条边,保证操作完成后仍然是树。
编号为2的操作,会改变这颗树的根节点(初始根节点为1)。
编号为3的操作,会给树上一条路径上所有点的权值都增加x。
编号为4的操作,会对树上一条路径上点的权值信息进行轮换,如果是对j到k这条路径操作,从j走到k的遍历序列是a1~p。则a1的权值改为a2的权值,a2的权值改为a3的权值……ap-1的权值改为ap的权值,ap的权重改为a1的权值。
编号为5的操作,会对树上一条路径上所有点的权值都开方(下取整)
编号为6的操作,会询问树上一条路径上所有点的权值和。
编号为7的操作,会给定两个常数p和q。你需要求出两个正整数u和v,对于给定路径上任意两点权值x和y,需要满足x/p<u/v<y/q。如果无论如何都满足不了这个条件,那么需要满足给定路径上存在两点权值x和y,满足p/x<v/u<q/y。如果还是无论如何都不可能满足,那么该操作为非法操作。你需要求出u和v,并最小化v。对于非法操作输出-1。
编号为8的操作,会询问树中一个子树的大小。
数据范围
Task1
在一个区间上进行修改和询问,直接n^2暴力。Task2
在一个区间上进行区间加法和区间求和,写棵线段树做到n log n。Task3
在一个区间进行开方和求和操作。我们对于开方操作很棘手。但是可以注意到一个数被开方很少的次数后就会变成1,从此开方操作对它不产生影响。因此区间开方时,可以暴力递归左右。如果一个区间全都是1,则我们可以退出。这样是n log n的。Task4
当同时有加法和开方时,Task3的做法不管用了。但我们可以用一样的思路去思考。其实,只要一个区间全都一样,我们就可以打赋值标记然后退出。这启示我们,每次线段树暴力递归修改的复杂度可以和颜色段数相关。那么,经过多少次开方后两个颜色段会合并呢?可以发现对于两个颜色段a和b,有(√a-√b)(√a+√b)=a-b,而√a-√b<√a+√b。我们每次会把差给开方!那么跟Task3一样,只需要很少的次数就能合并两个颜色段。但这里有个Trick,因为本题的开方是下取整的。我们发现两个颜色段差为1时开方后的差仍可能为1,那么我们的算法就可能T掉。我们可以对最大值减最小值=1的区间也进行判断,开方后会变得一样就打赋值标记退出,否则打加法标记退出。
同时维护两种标记要注意标记顺序,通常是先赋值后加法,那么记得下传标记时也要按照这个顺序,而打一个赋值标记时也要记得清空加法标记。
Task5
我们仔细分析可以发现我们需要知道的只是最大值mx和最小值mi。然后就是求mx/p<u/v<mi/q。
如果mx/p>mi/q,就是求mi/q<u/v<mx/p
输出-1的情况是mx/p=mi/q。
在区间上进行最大值最小值的维护非常容易,我们来看怎么求u和v。
一个显然的结论是最小化分子或分母都是对的。
即不可能存在两组可能成为最优解的可行解u/v和u’/v’。u<u′而v>v’。这样可以证明一定有一个可以在合法的情况下继续变小。
考虑问题求a/b<u/v<c/d的最小v和u。
如果a>=b,可以一直减到a<b,相当于减去一个整数把假分数化为真分数。
然后就是a<b的情况,a/b<u/v<c/d,那么d/c<v/u<b/a,继续递归处理。
边界是a=0的时候。
可以发现上述算法就是一个类欧几里得算法,可以在log时间里求解。
Task6
序列上的轮换操作可以通过splay来实现,是n log n的。Task7
在树上的暴力,有动态树的操作。我想到的是边集数组用map或set实现,就可以高效实现Link和cut。进行动态树操作后可以从根节点开始进行重构信息。然而链表可以随便做。
Task8
在树上可以用树链剖分维护。Task9
相对于Task8多了换根和求子树大小操作。如果了解过ETT的人,可以比较清楚。没有link和cut操作下,即使有换根也是能维护子树大小的。我们并不需要真正的换根,只需要知道根节点是谁。比如我们以1为根,那么现在根节点是root,要求x的子树大小。如果root不在x的子树内,x的子树大小不变。否则,我们找到root的一个是x儿子的祖先z,x的子树大小应该是n-z的子树大小。其余部分和Task8一致。
Task10
当加入了link和cut操作后,我们就需要用动态树LCT进行维护了。Task11
动态树的轮换问题比较难解决,为什么它不能像序列上一样容易呢?因为动态树的splay,同时维护了权值和形态信息,轮换操作没有改变形态,只是改变了权值的对应关系,只用原先的splay无法进行维护。
那么我们可以把权值和形态信息进行分离,每条重链上保存两颗splay,一颗记录形态信息(即点的编号),一颗记录权值信息,两颗splay的中序遍历的权值和形态要一一对应。与权值相关的操作只需要在权值splay上进行操作(比如轮换),而与形态相关的操作通常需要两颗splay一起变动。这样常数虽然略大,但复杂度仍是n log n。
Task12
在有换根和link、cut情况下求子树大小,我们的LCT可以考虑记录虚边信息。即对于每一个结点,保存siz表示所有连到它的虚子树大小之和,在虚实切换时进行更改即可。想知道一个点的子树大小,可以选择access它。
实现较麻烦。
Task13
基本是上面的杂合了。值得一提的是开方操作,它和轮换、加法操作在树上也可以共存,仍然可以用颜色段解释,它的复杂度是正确的。在splay上抽取颜色段,也就相当于定位区间,而splay定位区间也是均摊log n的。不过为了保证它的复杂度,实现时可以一段一段抽出来,再合并到一起,这样才不会违背势能分析。不过其实也没有刻意卡,直接暴力递归左右大概也是可以过的。
严谨的解释为什么它的复杂度仍然是有保证的。对树进行轻重链剖分,一条重链可以看做一个序列。同序列上的证法一样,现在每次加法或轮换操作经过一条树路径,可以拆成两条自下而上的树路径,可以发现经过的重链数量是log级别,也相当于对log个序列进行了区间修改。
比较麻烦的是轻边的影响,因为一个点被修改,它连出的多条轻边都受到影响,这部分我们很难计算。但可以注意到每次开方操作也只经过log条轻边,可以直接把所有轻边连接的两个节点永久视为点权不一致,这样也没有关系。
这题是动态树,容易讨论一条边在一次link/cut操作前后的影响。如果都是重边或都是轻边没有关系,重边变成了轻边也没有关系,轻边变成重边也没有关系(可以证明变化量是log级别)。
参考程序
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++) using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=50000+10; int tree[2][maxn][2],father[2][maxn],pp[2][maxn],sta[maxn],cal[2][maxn]; int size[2][maxn],siz[maxn],num[maxn]; ll mx[maxn],mi[maxn],sum[maxn],key[maxn],st[maxn],ad[maxn]; bool bz[2][maxn],fz[maxn]; int h[maxn],go[maxn*2],next[maxn*2]; int i,j,k,l,r,u,v,w,x,y,t,n,m,tot,top,root; ll ans,da,xi,p,q; int read(){ int x=0,f=1; char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while (ch>='0'&&ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return x*f; } void add(int x,int y){ go[++tot]=y; next[tot]=h[x]; h[x]=tot; } void dfs(int x,int y){ pp[0][x]=pp[1][x]=y; cal[0][x]=cal[1][x]=x; int t=h[x]; while (t){ if (go[t]!=y){ dfs(go[t],x); siz[x]+=siz[go[t]]+1; } t=next[t]; } } void update(int p,int x){ size[p][x]=size[p][tree[p][x][0]]+size[p][tree[p][x][1]]+1; if (p==0){ num[x]=num[tree[0][x][0]]+num[tree[0][x][1]]+siz[x]; } else{ mx[x]=key[x]; if (tree[1][x][0]) mx[x]=max(mx[x],mx[tree[1][x][0]]); if (tree[1][x][1]) mx[x]=max(mx[x],mx[tree[1][x][1]]); mi[x]=key[x]; if (tree[1][x][0]) mi[x]=min(mi[x],mi[tree[1][x][0]]); if (tree[1][x][1]) mi[x]=min(mi[x],mi[tree[1][x][1]]); sum[x]=sum[tree[1][x][0]]+sum[tree[1][x][1]]+key[x]; } } int pd(int p,int x){ return tree[p][father[p][x]][1]==x; } void rotate(int p,int x){ int y=father[p][x],z=pd(p,x); father[p][x]=father[p][y]; if (father[p][y]) tree[p][father[p][y]][pd(p,y)]=x; tree[p][y][z]=tree[p][x][1-z]; if (tree[p][x][1-z]) father[p][tree[p][x][1-z]]=y; tree[p][x][1-z]=y; father[p][y]=x; update(p,y); update(p,x); if (pp[p][y]) pp[p][x]=pp[p][y],pp[p][y]=0; if (cal[p][y]) cal[p][x]=cal[p][y],cal[p][y]=0; } void markbz(int p,int x){ swap(tree[p][x][0],tree[p][x][1]); bz[p][x]^=1; } void markst(int x,ll v){ fz[x]=1; st[x]=mx[x]=mi[x]=key[x]=v; sum[x]=(ll)v*size[1][x]; ad[x]=0; } void markad(int x,ll v){ sum[x]+=(ll)v*size[1][x]; ad[x]+=v;mx[x]+=v;mi[x]+=v;key[x]+=v; } void clear(int p,int x){ if (bz[p][x]){ if (tree[p][x][0]) markbz(p,tree[p][x][0]); if (tree[p][x][1]) markbz(p,tree[p][x][1]); bz[p][x]=0; } if (p==1){ if (fz[x]){ if (tree[1][x][0]) markst(tree[1][x][0],st[x]); if (tree[1][x][1]) markst(tree[1][x][1],st[x]); fz[x]=0; } if (ad[x]){ if (tree[1][x][0]) markad(tree[1][x][0],ad[x]); if (tree[1][x][1]) markad(tree[1][x][1],ad[x]); ad[x]=0; } } } void remove(int p,int x,int y){ top=0; while (x!=y){ sta[++top]=x; x=father[p][x]; } while (top) clear(p,sta[top--]); } void splay(int p,int x,int y){ remove(p,x,y); while (father[p][x]!=y){ if (father[p][father[p][x]]!=y) if (pd(p,x)==pd(p,father[p][x])) rotate(p,father[p][x]);else rotate(p,x); rotate(p,x); } } int kth(int p,int x,int y){ if (!x) return 0; if (size[p][tree[p][x][0]]+1==y) return x; clear(p,x); if (size[p][tree[p][x][0]]+1>y) return kth(p,tree[p][x][0],y); else return kth(p,tree[p][x][1],y-size[p][tree[p][x][0]]-1); } int findfr(int p,int x){ splay(p,x,0); int k=size[p][tree[p][x][0]]+1; int u=cal[p][x]; splay(1-p,u,0); int v=kth(1-p,u,k); splay(1-p,v,0); return v; } int getsize(int x){ splay(0,x,0); return siz[x]+num[tree[0][x][1]]+size[0][tree[0][x][1]]+1; } void real_empty(int p,int x,int y){ if (p==0){ splay(p,y,0); siz[y]+=getsize(x); update(0,y); } splay(p,y,0); splay(p,x,y); tree[p][y][1]=0; father[p][x]=0; pp[p][x]=y; update(p,y); } void empty_real(int p,int x,int y){ if (p==0){ splay(p,y,0); siz[y]-=getsize(x); update(0,y); } splay(p,y,0); splay(p,x,0); cal[p][x]=0; tree[p][y][1]=x; father[p][x]=y; pp[p][x]=0; update(p,y); } void access(int x){ int j,k,y,z,u,v,w; splay(0,x,0); z=kth(0,tree[0][x][1],1); if (z){ splay(0,z,x); v=findfr(0,x);w=findfr(0,z); real_empty(0,z,x);real_empty(1,w,v); splay(0,z,0);splay(1,w,0); cal[0][z]=w;cal[1][w]=z; splay(0,x,0);splay(1,v,0); cal[0][x]=v;cal[1][v]=x; } while (pp[0][x]){ y=pp[0][x]; splay(0,y,0); z=kth(0,tree[0][y][1],1); if (z){ splay(0,z,y); v=findfr(0,y);w=findfr(0,z); real_empty(0,z,y);real_empty(1,w,v); splay(0,z,0);splay(1,w,0); cal[0][z]=w;cal[1][w]=z; splay(0,y,0);splay(1,v,0); cal[0][y]=v;cal[1][v]=y; } splay(0,x,0); z=kth(0,x,1); splay(0,z,0); v=findfr(0,y);w=findfr(0,z); empty_real(0,z,y);empty_real(1,w,v); splay(0,x,0); } } void makeroot(int x){ access(x); splay(0,x,0); markbz(0,x); int u=cal[0][x]; splay(1,u,0); markbz(1,u); } void cut(int x,int y){ makeroot(x); access(x); splay(0,x,0); siz[x]-=getsize(y); update(0,x); splay(0,y,0); pp[0][y]=0; int u=cal[0][y]; splay(1,u,0); pp[1][u]=0; } void link(int x,int y){ makeroot(x); makeroot(y); access(x); splay(0,x,0); siz[x]+=getsize(y); update(0,x); splay(0,y,0); pp[0][y]=x; int u=cal[0][y],v=cal[0][x]; splay(1,u,0); pp[1][u]=v; } void kf(int x,int y){ if (!x) return; if (y>t){ t=y; v=x; } clear(1,x); if (mx[x]==mi[x]){ markst(x,int(sqrt(mx[x]))); return; } else if (mx[x]==mi[x]+1){ if (int(sqrt(mx[x]))==int(sqrt(mi[x]))) markst(x,int(sqrt(mx[x]))); else markad(x,int(sqrt(mi[x]))-mi[x]); return; } key[x]=int(sqrt(key[x])); kf(tree[1][x][0],y+1);kf(tree[1][x][1],y+1); update(1,x); } /*void kf(int x,int y){ if (!x) return; if (y>t){ t=y; v=x; } clear(1,x); key[x]=int(sqrt(key[x])); kf(tree[1][x][0],y+1);kf(tree[1][x][1],y+1); update(1,x); }*/ void likegcd(int a,int b,int c,int d){ if (a==0){ q=1;p=floor(d/c)+1; return; } if (a>=b){ likegcd(a%b,b,c-d*(a/b),d); q+=(ll)p*(a/b); return; } if (c>d){ p=q=1; return; } likegcd(d,c,b,a); swap(p,q); } void write(ll x){ if (x<0){ putchar('-'); x=-x; } if (!x){ putchar('0'); return; } top=0; while (x){ sta[++top]=x%10; x/=10; } while (top) putchar('0'+sta[top--]); } int main(){ freopen("satori.in","r",stdin);freopen("satori.out","w",stdout); n=read();m=read(); fo(i,1,n-1){ j=read();k=read(); add(j,k);add(k,j); } dfs(1,0); fo(i,1,n){ key[i]=read(); update(0,i);update(1,i); } root=1; while (m--){ t=read(); if (t==1){ j=read();k=read();u=read();v=read(); cut(j,k); link(u,v); } else if (t==2){ j=read(); root=j; } else if (t==3){ j=read();k=read();x=read(); makeroot(j); access(k); splay(0,k,0); u=cal[0][k]; splay(1,u,0); markad(u,x); } else if (t==4){ j=read();k=read(); makeroot(j); access(k); splay(0,k,0); u=cal[0][k]; splay(1,u,0); v=kth(1,u,1); splay(1,v,0); w=tree[1][v][1]; if (w){ father[1][w]=0; tree[1][v][1]=0; update(1,v); x=kth(1,w,size[1][w]); splay(1,x,0); tree[1][x][1]=v; father[1][v]=x; update(1,x); } } else if (t==5){ j=read();k=read(); makeroot(j); access(k); splay(0,k,0); u=cal[0][k]; splay(1,u,0); t=-1; kf(u,0); splay(1,v,0); } else if (t==6){ j=read();k=read(); makeroot(j); access(k); splay(0,k,0); u=cal[0][k]; splay(1,u,0); ans=sum[u]; write(ans);putchar('\n'); } else if (t==7){ j=read();k=read();p=read();q=read(); makeroot(j); access(k); splay(0,k,0); u=cal[0][k]; splay(1,u,0); da=mx[u];xi=mi[u]; if ((ll)da*q>(ll)xi*p){ swap(da,xi); swap(p,q); } if ((ll)da*q==(ll)xi*p){ write(-1);putchar('\n'); continue; } likegcd(da,p,xi,q); write(q);putchar(' ');write(p);putchar('\n'); } else if (t==8){ j=read(); makeroot(root); access(j); ans=siz[j]+1; write(ans);putchar('\n'); } } }
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