[kuangbin带你飞]专题七 线段树 题解（未完）

[kuangbin带你飞]专题七 线段树

题解：

A 经典的单点更新，区间求和：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int N=5e4+10;
int n,sum[N<<2];
void push_up(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void build(int l,int r,int rt){
if(l==r){
scanf("%d",&sum[rt]);
return;
}
int m=l+r >>1;
build(lson); build(rson);
push_up(rt);
}

void update(int o,int v,int l,int r,int rt){
if(l==r){
sum[rt]+=v;
return;
}
int m=l+r >>1;
if(o<=m) update(o,v,lson);
else update(o,v,rson);
push_up(rt);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&R>=r) return sum[rt];
int m=l+r>>1;
int res=0;
if(L<=m) res+=query(L,R,lson);
if(R>m) res+=query(L,R,rson);
return res;
}

int main(){
int T; scanf("%d",&T);
int cas = 0;
while(T--) {
printf("Case %d:\n", ++cas);
scanf("%d",&n);
build(root);
char op[10]; int x, y;
while(scanf("%s",op)) {
if(op[0] == 'E') break;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(x, y,root));
else if(op[0] == 'A') update(x, y, root);
else if(op[0] == 'S') update(x, -y, root);
}
}
}

B.经典的单点更新，区间查询最大值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10,inf=0x37373737;
int maxx[N*4];
void push_up(int x){
maxx[x]=max(maxx[x<<1],maxx[x<<1|1]);
}

void build(int x,int l,int r){
if(l==r){
scanf("%d",&maxx[x]);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(x<<1,l,mid);
build(x<<1|1,mid+1,r);
push_up(x);
}

void update(int o,int v,int l,int r,int x){
if(l==r){
maxx[x]=v;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=o) update(o,v,l,mid,x<<1);
else update(o,v,mid+1,r,x<<1|1);
push_up(x);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int x){
if(L<=l&&R>=r) return maxx[x];
int res=-inf;
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) res=max(res,query(L,R,l,mid,x<<1));
if(R>mid) res=max(res,query(L,R,mid+1,r,x<<1|1));
return res;
}

int main(){
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
build(1,1,n);
while(m--){
char op[2];scanf("%s",op);
int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
if(op[0]=='Q') printf("%d\n",query(a,b,1,n,1));
else update(a,b,1,n,1);
}
}
}

C.区间更新，区间查询

区间更新加了一个延迟更新的push_down操作，就是在更新或者查询到当前节点的左右儿子节点时，提前更新它的左右儿子节点，保证要查询当前区间才会去更新他下面的节点。

这就是懒惰操作lazy propagation 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

const int N=1e5+6;
ll sum[N<<4],add[N<<4];
int n,q;
void push_up(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void push_down(int rt,int m){
if(add[rt]){
add[rt<<1]+=add[rt];
add[rt<<1|1]+=add[rt];
sum[rt<<1]+=add[rt]*(m-(m>>1));
sum[rt<<1|1]+=add[rt]*(m>>1);
add[rt]=0;
}
}

void build(int l,int r,int rt){
add[rt]=0;
if(l==r){
scanf("%lld",&sum[rt]);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
push_up(rt);
}

void update(int L,int R,int v,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R){
add[rt]+=v;
sum[rt]+=(ll)v*(r-l+1);
return;
}
push_down(rt,r-l+1);
int m=l+r >>1;
if(L<=m) update(L,R,v,lson);
if(R>m) update(L,R,v,rson);
push_up(rt);
}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R) return sum[rt];
push_down(rt,r-l+1);
int m=(l+r)>>1;
ll res=0;
if(L<=m) res+=query(L,R,lson);
if(R>m) res+=query(L,R,rson);
return res;
}

int main(){
while(scanf("%d%d",&n,&q)==2){
build(root);
while(q--){
char op[2]; int x, y, z;
scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
if(op[0] == 'Q') printf("%lld\n", query(x,y,root));
else {
scanf("%d",&z);
update(x,y,z, root);
}
}
}
}

D区间点染色问题.

先离散化处理点范围，区间染色问题实际就是

详细题解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e4+10;

int x1
,x2
,vis[6*N*4],cnt
,ans,n;
int compress(int *x1,int *x2,int w){
vector<int> xs;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int d=-1;d<=1;d++){
int tx1=x1[i]+d,tx2=x2[i]+d;
if(1<=tx1&&tx1<=w) xs.push_back(tx1);
if(1<=tx2&&tx2<=w) xs.push_back(tx2);
}
}
sort(xs.begin(),xs.end());
xs.erase(unique(xs.begin(),xs.end()),xs.end());
for(int i=1;i<=n;i++){
x1[i]=find(xs.begin(),xs.end(),x1[i])-xs.begin()+1;
x2[i]=find(xs.begin(),xs.end(),x2[i])-xs.begin()+1;
}
return xs.size();
}

void push_down(int rt){
if(vis[rt]){
vis[rt<<1]=vis[rt<<1|1]=vis[rt];
vis[rt]=0;
}
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R){
vis[rt]=c;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
push_down(rt);
if(L<=m) update(L,R,c,l,m,rt<<1);
if(R>m) update(L,R,c,m+1,r,rt<<1|1);
}

void query(int l,int r,int rt){
if(vis[rt]){
if(!cnt[vis[rt]]){
ans++;cnt[vis[rt]]=1;
}
return;
}
if(l==r) return;
int m=l+r>>1;
query(l,m,rt<<1);
query(m+1,r,rt<<1|1);
}

int main(){
int T;scanf("%d",&T);
while(T--){
int w=0;scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",x1+i,x2+i);
}
w=compress(x1,x2,1e7);
//cout<<"ok"<<w<<endl;
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;i++){
update(x1[i],x2[i],i,1,w,1);
}
ans=0;
//cout<<"ok"<<endl;
query(1,w,1);
printf("%d\n",ans);
}
}

E区间修改，区间求和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

const int N=1e5+6;
ll sum[N<<4],add[N<<4];
int n,q;

void push_up(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void push_down(int rt,int m){
if(add[rt]){
add[rt<<1]=add[rt];
add[rt<<1|1]=add[rt];
sum[rt<<1]=add[rt]*(m-(m>>1));
sum[rt<<1|1]=add[rt]*(m>>1);
add[rt]=0;
}
}

void build(int l,int r,int rt){
add[rt]=0;
if(l==r){
sum[rt]=1;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
build(lson);
build(rson);
push_up(rt);
}

void update(int L,int R,int v,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R){
add[rt]=v;
sum[rt]=(ll)v*(r-l+1);
return;
}
push_down(rt,r-l+1);
int m=l+r >>1;
if(L<=m) update(L,R,v,lson);
if(R>m) update(L,R,v,rson);
push_up(rt);
}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R) return sum[rt];
push_down(rt,r-l+1);
int m=(l+r)>>1;
ll res=0;
if(L<=m) res+=query(L,R,lson);
if(R>m) res+=query(L,R,rson);
return res;
}

int main(){
int T,cnt=1;scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&q);
build(root);
while(q--){
int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
update(a,b,c,root);
}
printf("Case %d: The total value of the hook is %lld.\n",cnt++,query(1,n,root));
}
}

F 区间线段染色问题.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4;
int vis[N<<2],col
,last;

void push_down(int rt){
if(vis[rt]>=0){
vis[rt<<1]=vis[rt<<1|1]=vis[rt];
vis[rt]=-1;
}
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R){
vis[rt]=c;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
push_down(rt);
if(L<=m) update(L,R,c,l,m,rt<<1);
if(R>m) update(L,R,c,m+1,r,rt<<1|1);
}

void query(int l,int r,int rt){
if(l==r){
if(vis[rt]!=last) col[vis[rt]]++;
last=vis[rt];
return;
}
push_down(rt);
int m=l+r>>1;
query(l,m,rt<<1);
query(m+1,r,rt<<1|1);
}

int main(){
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
memset(vis,-1,sizeof(vis));
memset(col,0,sizeof(col));
for(int i=0;i<n;i++){
int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a+1<=b) update(a+1,b,c,1,8000,1);
}
last=-1;
query(1,8000,1);
for(int i=0;i<=8000;i++){
if(col[i]>0) printf("%d %d\n",i,col[i]);
}
printf("\n");
}
}

G 没有修改的区间最值问题

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<16;
int dmin
[16],dmax
[16],n,m,A
;

void RMQ_init(){
for(int i=0;i<n;i++) dmin[i][0]=A[i],dmax[i][0]=A[i];
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){
dmin[i][j]=min(dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}

int rmq(int l,int r,int ok){//ok=0返回最小值,ok=1返回最大值
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;
return ok==0 ? min(dmin[l][k],dmin[r-(1<<k)+1][k]) : max(dmax[l][k],dmax[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main(){
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&A[i]);
RMQ_init();
while(m--){
int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",rmq(a-1,b-1,1)-rmq(a-1,b-1,0));
}
}
}

H.区间开方的修改，区间求和

看似无法懒惰标记的区间求和问题。但题目里隐含了只要求和求整数和，根据题目所有数之和不超过2^63我们可以估计区间和不会更新很多次就变成1。区间更新时候有一个剪枝，不需要push_down操作。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;

#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

ll sum[N<<2];

void push_up(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}

void build(int l,int r,int rt){
if(l==r){
scanf("%lld",&sum[rt]);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
build(l,m,rt<<1);
build(m+1,r,rt<<1|1);
push_up(rt);
}

void update(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(sum[rt]==r-l+1) return;
if(l==r){
sum[rt]=sqrt(sum[rt]);
return;
}
int m=(l+r)>>1;
if(L<=m) update(L,R,lson);
if(R>m) update(L,R,rson);
push_up(rt);
}

ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R){
return sum[rt];
}
ll res=0;
int m=(l+r)>>1;
if(L<=m)  res+=query(L,R,lson);
if(R>m) res+=query(L,R,rson);
return res;
}

int main(){
int n,cas=1;
while(scanf("%d",&n)==1){
build(root);
int q;scanf("%d",&q);
printf("Case #%d:\n",cas++);
while(q--){
int o,a,b;scanf("%d%d%d",&o,&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
if(o==0) update(a,b,1,n,1);
else printf("%lld\n",query(a,b,1,n,1));
}
printf("\n");
}
}

I求连续区间最大和

题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
const int N=5e4+10;
int lsum[N<<2],rsum[N<<2],sta
,n,q;
void push_up(int rt,int m){
lsum[rt]=lsum[rt<<1];
rsum[rt]=rsum[rt<<1|1];
if(lsum[rt<<1]==m-(m>>1)) lsum[rt]+=lsum[rt<<1|1];
if(rsum[rt<<1|1]==m>>1) rsum[rt]+=rsum[rt<<1];
}

void build(int l,int r,int rt){
lsum[rt]=rsum[rt]=r-l+1;
if(l==r) return;
int m=l+r >>1;
build(l,m,rt<<1);
build(m+1,r,rt<<1|1);
}

void update(int o,int v,int l,int r,int rt){
if(l==r){
lsum[rt]=rsum[rt]=v;
return;
}
int m=l+r>>1;
if(o<=m) update(o,v,lson);
else update(o,v,rson);
push_up(rt,r-l+1);
}

int query(int o,int l,int r,int rt){
if(l==r) return 0;
int m=l+r >>1;
if(o>=m-rsum[rt<<1]+1&&o<=m+lsum[rt<<1|1]){
return rsum[rt<<1]+lsum[rt<<1|1];
}
if(o<=m) return query(o,lson);
else return query(o,rson);
}

int main(){
while(~scanf("%d%d",&n,&q)){
build(root);
int t=0;
while(q--){
char op[2];scanf("%s",op);
if(op[0]=='R'){
int x=sta[--t];
update(x,1,root);
}
else{
int x;scanf("%d",&x);
if(op[0]=='D'){
update(x,0,root);
sta[t++]=x;
}
else printf("%d\n",query(x,root));
}
}
}
}

J.dfs序+区间染色染色

题意：给定一个树(n<=50000)，有两个操作(q<=50000):

1.更新一个节点信息，他的子孙节点都会被更新成同样信息.

2.查询任意一个节点的信息。

思路：

从树的根开始一遍dfs序，用l,r两个数组构造重新给每个节点分配的范围，比如根节点就是[1，n],一直到叶子节点。

然后就是区间点染色问题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+10;
int l
,r
,vis[N<<2];
#define root 1,n,1
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

void push_down(int rt){
if(vis[rt]>=0){
vis[rt<<1]=vis[rt<<1|1]=vis[rt];
vis[rt]=-1;
}
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt){
if(L<=l&&r<=R){
vis[rt]=c;
return;
}
int m=(l+r)>>1;
push_down(rt);
if(L<=m) update(L,R,c,l,m,rt<<1);
if(R>m) update(L,R,c,m+1,r,rt<<1|1);
}

int query(int o,int l,int r,int rt){
if(l==r){
return vis[rt];
}
push_down(rt);
int m=l+r>>1;
if(o<=m)return query(o,lson);
else return query(o,rson);
}

vector<int>E
;
int cnt;
bool use
;

void dfs(int u){
l[u]=++cnt;
for(int i=0;i<E[u].size();i++){
int v=E[u][i];
dfs(v);
}
r[u]=cnt;
}

int main(){
int T,cas=1;scanf("%d",&T);
while(T--){
cnt=0;
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<=n;i++) E[i].clear();
memset(use,false,sizeof(use));
for(int i=0;i<n-1;i++){
int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
E[b].push_back(a);
use[a]=true;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!use[i]){
dfs(i);
break;
}
}
printf("Case #%d:\n",cas++);
memset(vis,-1,sizeof(vis));
int q;scanf("%d",&q);
while(q--){
char op[2];scanf("%s",op);
if(op[0]=='C'){
int x;scanf("%d",&x);
printf("%d\n",query(l[x],1,cnt,1));
}
else{
int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
update(l[a],r[a],b,1,cnt,1);
}
}
}
}

“`