【扫描线】【线段树】Data Structure Special Training 2 T2 area 题解

Problem 2. area

Input file: area.in

Output file: area.out

Time limit: 2 seconds

Memory limit: 256 MB

给出n 个矩形，求它们的面积并．

更准确一点，每个矩形将给出它的左上角和右下角的位置：x1; y1; x2; y2

这四个数都是整数且满足x1  x2; y1  y2．

我们需要你求：

area =j f(x; y) 2 Z  Z j 9 a rect: s:t: x1  x  x2 and y1  y  y2g j

Input

第1 行1 个整数：n，表示矩形的个数。

接下来n 行，每行4 个整数：x1 y1 x2 y2，表示一个矩形的左上角和右下角的坐标。

Output

输出area。

Sample

area.in area.out

31

1 2 3

1 2 3 3

3 3 4 4

11

样例解释：一共有11 个点落在了上面三个矩形所表示的区域内：

(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 3); (4; 4)

Note

• 对于30% 的数据，1  n  100，1  x1  x2  100，1  y1  y2  100

• 对于100% 的数据，1  n  105，1  x1  x2  105，1  y1  y2  105

Hint

线段树维护扫描线

题解

2.1 30%

枚举点，判断它是否在某个矩形中。O(n3)

2.2 100%

扫描线，对于一个举行(x1,y1,x2,y2)，将它看成两个事件：在x1 这个时间将

(y1,y2) 这个区间加一，在x2+1 这个时间将(y1,y2) 这个区间减一。

这样，我们遍历整个时间，并在执行完这个时间的操作后看看有多少位置非

0, 将其数量加到答案中，就完了，当然时间不能傻傻地一个一个枚，因为关键

的时间点最多2n 个，其它时候面积是没有变的，所以要一段一段地算。

至于怎么用线段树实现那么查看有多少个非零的位置，需要注意对于任何一

个减一操作，前面一定有一个和它一样的加一操作，就只需要维护一下每个节

点被完全覆盖的次数。再用另一个来统计子树中的那些修改导致这个节点还有

多少个非零。有点像标记永久化（我们讲的第二种区间修改的写法）。

扫描线细则

for枚举x轴或y轴，之后去用线段树记录每一条线的覆盖面积与次数

#include <cstdio>
#include <algorithm>

#ifdef WIN32
#define Auto "%I64d"
#else
#define Auto "%lld"
#endif

const int N = 100000 + 10;
const int Ins = 1;
const int Del = 2;

typedef long long dnt;

struct Event {
int type;   //  1 ins 2 del
int time;   //  x
int lf, rg; //  y1 y2
Event(){}
Event( int type, int time, int lf, int rg )
:type(type),time(time),lf(lf),rg(rg){}
};
bool operator<( const Event &r, const Event &s ) {
return r.time < s.time;
}
struct Node {
int cnt,    //  将这个节点完全覆盖的次数
sum;    //  只考虑覆盖这个节点的子节点的那些操作导致的非零的位置的个数
Node *ls, *rs;
int query( int lf, int rg ) {
return cnt ? rg - lf + 1 : sum;
}
void update( int lf, int rg ) {
int mid = (lf + rg) >> 1;
sum = ls->query(lf,mid) + rs->query(mid+1,rg);
}
}pool[N*2], *tail = pool, *root;

int n;
int total;
Event events[N*2];

Node *build( int lf, int rg ) {
Node *nd = ++tail;
if( lf == rg ) {
nd->cnt = nd->sum = 0;
} else {
int mid = (lf + rg) >> 1;
nd->ls = build( lf, mid );
nd->rs = build( mid+1, rg );
nd->cnt = nd->sum = 0;
}
return nd;
}
void modify( Node *nd, int lf, int rg, int L, int R, int delta ) {
if( L <= lf && rg <= R ) {
nd->cnt += delta;
return;
}
int mid = (lf + rg) >> 1;
if( L <= mid ) modify( nd->ls, lf, mid, L, R, delta );
if( R > mid ) modify( nd->rs, mid+1, rg, L, R, delta );
nd->update(lf,rg);
}

int main() {
freopen("area.in","r",stdin);
freopen("area.out","w",stdout);
scanf( "%d", &n );
for( int i = 1; i <= n; i++ ) {
int x1, y1, x2, y2;
scanf( "%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2 );
events[total++] = Event( Ins, x1, y1, y2 );
events[total++] = Event( Del, x2+1, y1, y2 );
}
std::sort( events, events + total );
root = build( 1, n );
dnt area = 0;
for( int i = 0,j; i < total; i = j + 1 ) {
for( j = i; j + 1 < total && events[j+1].time == events[i].time; j++ );
for( int k = i; k <= j; k++ ) {
modify( root, 1, n, events[k].lf, events[k].rg, events[k].type == Ins ? +1 : -1 );
}
//      if( j != total-1 ) {
area += (dnt)root->query(1,n) * (events[j+1].time - events[i].time);
//      }
}
printf( Auto"\n", area );
}