01普通背包和01满背包问题

背包问题：

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 c[i]，得到的

价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

最普通的背包问题，对于每个物品，可选择放或者不放。

所以状态便是：只取前i个物品用容量为j的背包所能取得的最大价值。

状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]] + w[i]);(j >= c[i]) 

dp[i][j] = dp[i-1][j];(j < c[i])

其中j-c[i]表示取完第i个物品之后剩余的背包容量，而dp[i][j-c[i]]则表示取完第i个物品之后剩余容量所能取得的最大价值。

从而二维的dp代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][1005], c[1005], v[1005];
int main(){
int i, j, t, n, vc;
cin >> t;
while(t--){
cin >> n >> vc;
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i];
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> c[i];
for(i = 1; i <= n; ++i)
for(j = 0; j <= vc; ++j){
if(j-c[i] >= 0) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]]+v[i]);
else dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
cout << dp
[vc] << endl;
}
return 0;
}

其实还有一个一维dp，因为dp[i][j] 是根据i-1层的状态转移过来的，所以我们只需要一维保存每层的状态，然后覆盖式的求下一层状态，不过有一点最为重要，每次的dp[i][j]都是从上一层容量<=j时的状态推出来的，所以我们每次转移状态时需要从后向前进行，即从大容量向小容量进行。从而空间为节省至一维。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005], c[1005], v[1005];
int main(){
int i, j, t, n, vc;
cin >> t;
while(t--){
cin >> n >> vc;
memset(dp, 0, sizeof dp);
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i];
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> c[i];
for(i = 1; i <= n; ++i)
for(j = vc; j >= c[i]; --j){	//j >= c[i]相当于省去了j-c[i]的判断条件
dp[j] = max(dp[j], dp[j-c[i]]+v[i]);
}
cout << dp[vc] << endl;
}
return 0;
}

下面再讨论一下满背包问题。顾名思义，满背包与普通背包唯一不同的点就是恰好装满背包所能取得的最大价值。
4000

其实满背包只要稍稍改变一下dp数组的初始化即可，把dp
[vc]的所有元素都初始化为负无穷，把dp[0][0]~dp
[0]都初始化为0。为什么呢？当我们在向背包装物品的时候当dp[i-1][j]或者dp[i-1][j-c[i]]为负数的时候，就表示上一层的j或者j-c[i]容量时装不满，那么此时装c[i]也肯定是不满的状态。当它们不为负数时，那么我们再装c[i]时得到的也是恰好装满的。最后扫描一下最后一层的所有状态，最大值即为满背包解。

//二维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][1005], c[1005], v[1005];
int main(){
int i, j, t, n, vc, ans;
cin >> t;
while(t--){
cin >> n >> vc;
memset(dp, -0x3f, sizeof dp);
for(i = 0; i <= n; ++i) dp[i][0] = 0;
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i];
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> c[i];
for(i = 1; i <= n; ++i)
for(j = 0; j <= vc; ++j){
if(j-c[i] >= 0) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]]+v[i]);
else dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
ans = 0;
for(i = 1; i <= vc; ++i) ans = max(ans, dp
[i]);
cout << ans << endl;
}
return 0;
}

//一维
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005], c[1005], v[1005];
int main(){
int i, j, t, n, vc, ans;
cin >> t;
while(t--){
cin >> n >> vc;
memset(dp, -0x3f, sizeof dp);
dp[0] = 0;
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i];
for(i = 1; i <= n; ++i) cin >> c[i];
for(i = 1; i <= n; ++i){
for(j = vc; j >= c[i]; --j){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-c[i]] + v[i]);
}
for(j = 1; j <= vc; ++j) 		//打印每层状态
if(dp[j] > 0) printf("%d\t", dp[j]);
else printf("*\t");
cout << endl;
}
ans = 0;
for(i = 1; i <= vc; ++i) ans = max(ans, dp[i]);
cout << ans << endl;
}
return 0;
}

测试数据为(来自HDU 2602)：

1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

下面是满背包的每层状态



继续加油~