动态规划——最长递增子序列

问题描述：

对于一个数字序列，请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法，返回该序列的最长上升子序列的长度，这里的子序列定义为这样一个序列U1，U2...，其中Ui < Ui+1，且A[Ui] < A[Ui+1]。

给定一个数字序列A及序列的长度n，请返回最长上升子序列的长度。



测试样例：

[2,1,4,3,1,5,6],7

返回：4



解法：

将该问题划分为子问题，长度为1、2、3……n的子序列进行求解，

假设A[i]为数字序列中的第i个数，MAX[i]为长度为i时最长上升子序列的长度，则

MAX[1]=1;

MAX[i]=MAX[j]+1; (必须满足:
A[i]>A[j] && j<i &&
MAX[j]为0到i-1区间内最大的）

具体代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int findLongest(vector<int> a, int n)
{
vector<int> max(n, 1); //记录长度为n时的最长上升子序列
int maxlen = 1; //记录全局最长，最少为1

for (int i = 1; i < n; i++) //i为长度，分别求解长度为i时候的，这里从1开始因为数组的下标是0开始的，而只有一个数的时候必然最长为1，所以直接从第二个数开始
{
int maxtmp = 0;
for (int j = 0; j < i; j++) //找到比a[i]小的数，并且寻找其中上升子序列最长的
{
if (a[i] > a[j] && max[j]>maxtmp)
maxtmp = max[j];
}
max[i] = maxtmp + 1;
if (max[i] > maxlen) maxlen = max[i]; //记录当前长度最长
}
return maxlen;
}
int main()
{
//测试用例
vector<int> v{ 2,1,4,3,1,5,6 };
int n = 7;
cout << findLongest(v, n) << endl;
}