UVA - 1606 Amphiphilic Carbon Molecules(极角排序+扫描法+计算几何)
2017-04-03 16:27
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题目链接:
https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4481题目大意:
平面上有 n 个点, 每个点为白点或黑点。现在需要放置一条隔板,使得隔板一侧的黑色点数加上另一侧白色点数的和最大。解题过程:
这是人生第一道 AC 的计算几何题!由于之前一直没接触过这种题,紫书上的分析也看不懂,一言不合就让我极角排序、叉乘,根本没学过啊QAQ。
然后翻了很多博客,重学了一下极坐标,可算是弄明白了。
题目分析:
首先这题最简单的想法是枚举所有可能的挡板,这样需要枚举两个点,然后统计两端的点。枚举是 n×n, 统计也是 n,总共时间复杂度是 n^3。显然是超时的。然后扫描法的思想是,按照一定顺序枚举,这样可以动态的维护一个量,省去了扫描时的 n。
所以这题正解是枚举每一个点当作基点,然后计算每个点相对于基点的极角,进行极角排序。然后按极角的大小进行旋转时的枚举。每旋转一次可以根据之前统计的点的个数进行动态的更新(这就是“维护”)。
这题有个可以优化的地方,如果一个点是黑点的话,可以把他映射到关于基点对称的地方去,视为白点。这样扫描的时候只需要统计白点就够了。然后扫描的时候只从扫描 180 度即可。
判断是否超过 180 度用叉乘,a×b =
|a| * |b| * sin<a,b>,两个点叉乘用坐标计算是,
x1*y2 - y1*x2因为向量的模一定是正的,所以只要判断这个叉乘正负,就可以判断 sin 的正负了,即是否超过 180 度。
AC代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAX = 1005; struct Node { int x, y; int color; double rad; }raw_data[MAX], data[MAX]; bool operator < (const struct Node &a, const struct Node &b) { return a.rad < b.rad; } int n, ans; //用叉乘判断角度是否大于180度,即sin值。 bool Turn(Node &a, Node &b) { return a.x * b.y >= a.y * b.x; } void solve() { if (n <= 3) { ans = n; return; } ans = 0; //枚举每一个点当多基点 for (int i = 0; i < n; i++) { int k = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (i == j) continue; //计算每个点关于基点的相对坐标。 data[k].x = raw_data[j].x - raw_data[i].x; data[k].y = raw_data[j].y - raw_data[i].y; //如果是黑点的话,那么映射到关于基点对称的地方,这样扫描的时候只记录白点就够了。 if (raw_data[j].color) { data[k].x *= -1; data[k].y *= -1; } //求极角 data[k].rad = atan2(data[k].y, data[k].x); k++; } //极角排序 sort(data, data + k); //L为与基点相连的点,R为扫描线。 int L = 0, R = 0, cnt = 1; //枚举每一个点与基点相连当作挡板。 while (L < k) { if (L == R) { R = (R + 1) % k; cnt++; } //扫描的时候只扫描一侧,保证扫描线与挡板的夹角不超过180度。 while (L != R && Turn(data[L], data[R])) { cnt++; R = (R + 1) % k; } ans = max(ans, cnt); //挡板旋转。 L++; //由于挡板旋转,与基点相连的点不在挡板上了,减去1。 cnt--; } } } int main() { while (cin >> n && n) { for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> raw_data[i].x >> raw_data[i].y >> raw_data[i].color; } solve(); cout << ans << endl; } }
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