动态规划----线性动态规划

一、朴素最长非降子序列

1.问题引入

现输入一行数字，要求输出其中最长的非降子序列。
如输入 5 3 4 8 6 7，应输出4；
再如输入3 4 8 6 7，应输出4。

2.思路分析

设dp[i]表示遍历到第i个数时最长子序列的值，首先从第一个数开始，dp[0]=1,这是已知值。之后从i=1开始，逐一与前面的数比较，可设j<i，则如果第i个数大于等于第j个数，dp[i]=dp[j]+1，否则dp[i]=dp[i-1]。对于所有的j，取dp[i]的最大值即可。由此得到状态转移方程dp [i]=
max{dp[j]+1}。

3.代码如下：

package 动态规划__线性动态规划;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class 朴素最长非降子序列 {
public static void main(String args[]) throws IOException{
BufferedReader buf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String str=buf.readLine();
String s[]=str.split(" ");
int dp[]=new int[s.length];
dp[0]=1;
for(int i=1;i<s.length;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
if(Integer.parseInt(s[i])>=Integer.parseInt(s[j]))
dp[i]=Math.max(dp[j]+1, dp[i]);
else
dp[i]=dp[i-1];
}
}
System.out.print(dp[s.length-1]);
}
}

二、方块消除游戏
三、最长公共序列数问题

1.问题引入：

给定两个字符串A和B，返回两个字符串的最长公共子序列的长度。例如，A="1A2C3D4B56”，B="B1D23CA45B6A”，”123456"或者"12C4B6"都是最长公共子序列。给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。测试样例：第一行输入一个字符串，第二行再输入一个字符串。最后输出最长公共子串的长度。如：1A2C3D4B56

B1D23CA45B6A

输出：6

2.思路分析：

设dp
[m] ，为A的前n个字符与B的前m个字符的公共序列长度，则当A
==B[m]的时候，dp[i][j] =
 max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1])，否则，dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

3.代码如下：

package 动态规划__线性动态规划;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class 最长公共子串 {
public static void main(String args[]) throws IOException{
BufferedReader buf=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String s1=buf.readLine();
String s2=buf.readLine();
String s11[]=s1.split("");
String s21[]=s2.split("");
int dp[][]=new int[s11.length+1][s21.length+1];
for(int i=0;i<s11.length;i++)
dp[i][0]=0;
for(int j=0;j<s21.length;j++)
dp[0][j]=0;

for(int i=1;i<=s11.length;i++){
for(int j=1;j<=s21.length;j++){
if(s11[i-1].equals(s21[j-1]))
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
System.out.println(dp[s11.length][s21.length]);
}

}

现在如果是要把这个最长公共子序列输出来，可以这样：

public class MaxString {
public static void main(String[] args) {
String a=max("qwerabcdtyuiop","xcabcdvbn");
System.out.println(a);
}

public static String max(String s1,String s2){
String dp[][]=new String[s1.length()+1][s2.length()+1];
for(int i=0;i<=s1.length();i++){
for(int j=0;j<=s2.length();j++){
dp[i][j]="";
}
}
for(int i=0;i<s2.length();i++)
dp[0][i]="";
for(int j=0;j<s1.length();j++)
dp[j][0]="";
for(int i=1;i<=s1.length();i++){
for(int j=1;j<=s2.length();j++){
if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(j-1)){

dcd4
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+s1.charAt(i-1);

}else{
if(dp[i-1][j].length()>dp[i][j-1].length())
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=dp[i][j-1];
}
}
}
return dp[s1.length()][s2.length()];
}
}

再看一个相似的例子：构造回文数问题，现输入一个字符串，则至少删除几个元素可以使这个字符串成为一个回文字符串，输出这个最小值。这题也可以转化为最长公共子序列问题，我们把原字符串逆序得到一个新的字符串，求出这两个字符串的最长公共子序列长度，再用原字符串的长度减去这个最长公共子序列的长度即为所求值。
代码如下：

package 动态规划;

import java.util.Scanner;

public class 构造回文字符串 {
public static void main(String args[]){
String str=new Scanner(System.in).nextLine();
int max=Hui(str,str.length());
System.out.println(max);
}
public static int Hui(String str,int len){
String rev=new StringBuffer(str).reverse().toString();
int dp[][]=new int[len+1][len+1];
for(int i=0;i<len+1;i++ ) dp[i][0]=dp[0][1]=0;
for(int i=1;i<=len;i++){
for(int j=1;j<=len;j++){
if(str.charAt(i-1)==rev.charAt(j-1))
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]//把当前比较的两个字符去掉，前面匹配的有多少个
+1;
else
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
int max=dp[len][len];//最大匹配数
return len-max;
}

}