蓝桥杯模拟-排列序数

问题

X星系的某次考古活动发现了史前智能痕迹。

这是一些用来计数的符号，经过分析它的计数规律如下：

（为了表示方便，我们把这些奇怪的符号用a~q代替）

abcdefghijklmnopq 表示0

abcdefghijklmnoqp 表示1

abcdefghijklmnpoq 表示2

abcdefghijklmnpqo 表示3

abcdefghijklmnqop 表示4

abcdefghijklmnqpo 表示5

abcdefghijklmonpq 表示6

abcdefghijklmonqp 表示7

…..

在一处石头上刻的符号是：

bckfqlajhemgiodnp

请你计算出它表示的数字是多少？

请提交该整数，不要填写任何多余的内容，比如说明或注释。

思路

此题先前我不是用康托展开式写的，虽然答案是对的，但是写的很繁琐，之后看见网友说这题可以用康托展开式写，于是在网上搜了一下，果然这题是可以用康托展开式写的。

康托展开式其实就一个公式:

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+…+ai*(i-1)!+…+a2*1!+a1*0!

这个式子是由1到n这n个数组成的全排列，共n!个，按每个全排列组成的数从小到大进行排列，并对每个序列进行编号（从0开始）,并记为X。

比如说1到4组成的全排列中，长度为4，1234对应编号0，1243对应编号1

那a1,a2,a3,a4是什么意思呢？==>>

对1到4的全排列中，我们来考察3214，则

a4={3在集合(3,2,1,4)中是第几大的元素}=2

a3={2在集合(2,1,4)中是第几大的元素}=1

a2={1在集合(1,4)中是第几大的元素}=0

a1=0（最后只剩下一项）

则X=2*3!+1*2!+0*1!+0*0!=14，即3214对应的编号为14。

因此，此题用康托展开式就可以出来了，将abcd…写成1，2，3，4…就行了。

实现代码(c++)

#include<stdio.h>
long long fun(long long n){//求阶乘
long long s = 1;
for(int i = 1;i<=n;i++)
s*=i;
return s;
}
int main(){
int f[] = {2,3,11,6,17,12,1,10,8,5,13,7,9,15,4,14,16};
long long sum = 0;
for(int i = 0;i<16;i++){
long long t = 0;
for(int j = i+1;j<17;j++){
if(f[j]<f[i]){
t++;
}
}
sum+=(t)*fun(17-1-i);//康托展开式公式
}
printf("%lld",sum);
return 0;
}

答案

22952601027516