bzoj4028 [HEOI2015]公约数数列

Description

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.
2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。

Input

输入数据的第一行包含一个正整数 n.

接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.
之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。
之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。

Output

对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.

Sample Input

10

1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640

10

MODIFY 7 20321280

QUERY 162343680

QUERY 1832232960000

MODIFY 0 92160

QUERY 1234567

QUERY 3989856000

QUERY 833018560

MODIFY 3 8600

MODIFY 5 5306112

QUERY 148900352

Sample Output

6

0

no

2

8

8

HINT

对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.

正解：分块。

这题太鬼畜了，完全想不到。。

首先这题正解是分块。我们分好块以后，计算出每个块的$gcd$前缀和和异或前缀和，分别用$g1[i]$和$g2[i]$表示。修改的时候我们就暴力修改整个块，并更新就行了，这里的复杂度，加上之后提到的$map$，复杂度是$O(\sqrt{n}logn)$的。

如何查询？我们记录一个$lastgcd$，表示当前访问的前一个块右端点到序列起点的$gcd$；$lastxor$类似。我们计算一下$\gcd(lastgcd,g1[R[i]])$，表示当前块最后一个端点的$gcd$前缀和。如果这个值与$lastgcd$相等，那么我们可以很快想到，这一个块内的$gcd$前缀和都相等，因为$gcd$是单调不增的。那么我们就是要找到满足$lastgcd*(g2[i] \ xor \ lastxor)=x$的i值，也就是满足$g2[i]=\frac{x}{lastgcd} \ xor \ lastxor$的值。这个我们开一个$map$统计一下$g2[i]$对应的$i$就行了，同时注意这个$map$在预处理和修改时都要更新。如果不满足这个条件呢？我们直接暴力搞整个块就行了。因为我们可以发现，$gcd$减小的时候，每次最小会除$2$，也就是说，$gcd$最多只会减小$log$次。那么我们暴力查询，是可以保证复杂度在$O(\sqrt{n}logn)$的。于是我们的总复杂度就是$O(q\sqrt{n}logn)$的。

$mdzz$这题还卡常数。。我要把$long \ long$改成$int$才能过。。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (100010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

map<int,int>mp
;

int a
,bl
,LL
,RR
,g1
,g2
,n,q,totb,block;
char s[12];

il int gi(){
RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return q*x;
}

il ll gll(){
RG ll x=0,q=1; RG char ch=getchar();
while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return q*x;
}

il int gcd(RG int a,RG int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a; }

il void work(){
n=gi(),block=sqrt(n),totb=(n-1)/block+1;
for (RG int i=1;i<=n;++i){
a[i]=gi(),bl[i]=(i-1)/block+1;
if (!LL[bl[i]]) LL[bl[i]]=i; RR[bl[i]]=i;
}
for (RG int i=1;i<=totb;++i){
RG int res1=0,res2=0;
for (RG int j=LL[i];j<=RR[i];++j){
g1[j]=res1=gcd(res1,a[j]),g2[j]=res2=res2^a[j];
if (!mp[i][g2[j]]) mp[i][g2[j]]=j;
}
}
q=gi();
while (q--){
scanf("%s",s);
if (s[0]=='M'){
RG int id=gi()+1,x=gi(); a[id]=x;
RG int res1=0,res2=0,b=bl[id]; mp[b].clear();
for (RG int j=LL[b];j<=RR[b];++j){
g1[j]=res1=gcd(res1,a[j]),g2[j]=res2=res2^a[j];
if (!mp[b][g2[j]]) mp[b][g2[j]]=j;
}
} else{
RG ll x=gll(); RG int lastgcd=0,lastxor=0,ans=0;
for (RG int i=1;i<=totb;++i)
if (i!=1 && gcd(lastgcd,g1[RR[i]])==lastgcd){
if (x%lastgcd){
lastgcd=gcd(lastgcd,g1[RR[i]]);
lastxor^=g2[RR[i]]; continue;
}
RG ll k=(x/lastgcd)^lastxor;
if (k<=inf){
RG int v=mp[i][k];
if (v){ ans=v; break; }
}
lastgcd=gcd(lastgcd,g1[RR[i]]);
lastxor^=g2[RR[i]];
} else{
for (RG int j=LL[i];j<=RR[i];++j){
lastgcd=gcd(lastgcd,a[j]),lastxor^=a[j];
if ((ll)lastgcd*(ll)lastxor==x){ ans=j; break; }
}
}
if (ans) printf("%d\n",ans-1); else puts("no");
}
}
return;
}

int main(){
File("gcd");
work();
return 0;
}