【BZOJ 3626】【LNOI 2014】LCA【树链剖分】

Description

给出一个n个节点的有根树（编号为0到n-1，根节点为0）。一个点的深度定义为这个节点到根的距离+1。

设dep[i]表示点i的深度，LCA(i,j)表示i与j的最近公共祖先。

有q次询问，每次询问给出l r z，求sigma_{l<=i<=r}dep[LCA(i,z)]。

（即，求在[l,r]区间内的每个节点i与z的最近公共祖先的深度之和）

Input

第一行2个整数n q。

接下来n-1行，分别表示点1到点n-1的父节点编号。

接下来q行，每行3个整数l r z。

Output

输出q行，每行表示一个询问的答案。每个答案对201314取模输出

题解

此题实力树链剖分啊。

　　首先，这道题在线没看到会做的人，但是离线也较难思考。

　　然后，我们先简化一下，对于一组询问怎么处理？

　　类似暴力的想法，我们把每要询问的点往上都打上标记，然后把z点往上找，第一次遇到的那个有标记的点就是它们的LCA。

　　然后就我们可以发现，每个标记的深度等同于它上面有多少个和它一样的标记。 那么我们可以把每个点到根的路径都+1，然后询问z到根的和，就是答案了。

　　很显然可以用树链剖分搞。

　　那么多组询问：

　　　　区间[l,r]的答案=区间[1,r]的答案-区间[1,l-1]的答案。

　　那么我们把每个询问拆成两个，一个+，一个-。 然后排序，按顺序从1~n开始更新即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define N 50010
#define mod 201314
using namespace std;

struct node{int to,next;}e[N*2];
int head
,m,tim,n;
int dep
,size
,top
,fa
,son
,tid
;
int ans
;
struct data{int p,num,w,f;}a[N*2];
inline bool operator < (data a,data b) { return a.p < b.p; }

void init() {
tim = m = 0;
memset(head,0,sizeof(head));
memset(son,-1,sizeof(son));
}

void add_edge(int from,int to) {
e[++m].next = head[from];
head[from] = m;
e[m].to = to;
}

void dfs1(int v,int d) {
dep[v] = d; size[v] = 1;
for(int i = head[v];i;i=e[i].next) {
dfs1(e[i].to,d+1);
size[v] += size[e[i].to];
if(son[v] == -1 || size[e[i].to] > size[son[v]])
son[v] = e[i].to;
}
}

void dfs2(int v,int tp) {
tid[v] = ++tim; top[v] = tp;
if(son[v] == -1) return;
dfs2(son[v],tp);
for(int i = head[v];i;i=e[i].next)
if(e[i].to != son[v])
dfs2(e[i].to,e[i].to);
}

#define lson o << 1
#define rson o << 1 | 1
int sum[N << 2],add[N << 2];

void build(int o,int l,int r)
{
sum[o] = 0;
if(l == r) return;
int mid = (l+r)>>1;
build(lson,l,mid); build(rson,mid+1,r);
}

void pushdown(int o,int l,int r)
{
if(add[o] != 0) {
int mid = (l+r)>>1;
add[lson] += add[o]; sum[lson] += (mid-l+1)*add[o];
add[rson] += add[o]; sum[rson] += (r-mid)*add[o];
add[o] = 0;
}
}

void update(int o,int l,int r,int ll,int rr)
{
if(ll <= l && rr >= r) {add[o]++;sum[o]+=(r-l+1);return;}
int mid = (l+r)>>1;
pushdown(o,l,r);
if(ll <= mid) update(lson,l,mid,ll,rr);
if(rr > mid) update(rson,mid+1,r,ll,rr);
sum[o] = sum[lson] + sum[rson];
}

void change(int x,int y)
{
while(top[x] != top[y]) {
if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x,y);
update(1,1,n,tid[top[x]],tid[x]);
x = fa[top[x]];
}
if(dep[x] > dep[y]) swap(x,y);
update(1,1,n,tid[x],tid[y]);
}

int query(int o,int l,int r,int ll,int rr)
{
if(ll <= l && rr >= r)return sum[o];
int mid = (l+r)>>1,ans = 0;
pushdown(o,l,r);
if(ll <= mid) ans += query(lson,l,mid,ll,rr);
if(rr > mid) ans += query(rson,mid+1,r,ll,rr);
return ans;
}

int ask(int x,int y)
{
int ans = 0;
while(top[x] != top[y]) {
if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x,y);
ans += query(1,1,n,tid[top[x]],tid[x]);
x = fa[top[x]];
}
if(dep[x] > dep[y]) swap(x,y);
ans += query(1,1,n,tid[x],tid[y]);
return ans;
}

int main()
{
int q,u,v,z,tot = 0,now = 0;
scanf("%d%d",&n,&q);
init();
for(int i = 2;i <= n;i++) {
scanf("%d",&fa[i]); fa[i]++;
add_edge(fa[i],i);
}
dfs1(1,0); dfs2(1,1);
build(1,1,n);
for(int i = 1;i <= q;i++) {
scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);
u++;v++;z++;
a[++tot].p = u-1,a[tot].num = i,a[tot].w = z,a[tot].f = -1;
a[++tot].p = v,a[tot].num = i,a[tot].w = z,a[tot].f = 1;
}
sort(a+1,a+tot+1);
for(int i = 1;i <= tot;i++) {
while(now < a[i].p) {
now++;
change(1,now);
}
ans[a[i].num] += a[i].f * ask(1,a[i].w);
}
for(int i = 1;i <= q;i++) printf("%d\n",(ans[i]+mod) % mod);
return 0;
}