线性回归--正规方程Normal Equation

正规方程 Normal Equation

在线性回归中，为了求得参数

的最优值，一般采用梯度下降和本文将要介绍的正规方程（normal
equation）。相比较梯度下降采用多次迭代逼近的方式，normal equation采用矩阵运算可以直接求解出参数

。先介绍下什么是normal equation，假设一个数据集X有m个样本，n个特征。则假设函数为：

 ，数据集X的特征向量表示为：




表示第i个训练样本，

表示第i个训练样本的第j个特征。之所以在X中加了第一列全为1，是为了让


若希望假设函数能够拟合Y，则

。又因为 

 ，所以可以通过矩阵运算求出参数

。
熟悉线性代数的同学应该知道怎么求出参数

，但是前提是矩阵X存在逆矩阵

。但只有方阵才有可能存在逆矩阵（不熟悉定理的同学建议去补补线性代数），因此可以通过左乘

 使等式变成 

，因此

,有同学可能会有疑问

不一定存在啊，确实是，但是

极少不存在，后面会介绍

不存在的处理方法，先别着急。现在你只需要明白为什么

就可以了，并且记住。

介绍完normal equation求解参数

，我们已经知道了两种求解参数

的方法，normal
equation和梯度下降，现在来对比下这两种方法的优缺点以及什么场景选择什么方法。具体见下表吧：



回到上面说的

不一定存在，这种情况是极少存在的。如果

不可逆了，一般要考虑一下两者情况：
（1） 移除冗余特征，一些特征存在线性依赖。
（2） 特征太多时，要删除一些特征。例如（m<n)，对于小样本数据使用正则化。