欧几里得算法与逆元
2017-03-31 21:23
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gcd(a,b)={agcd(b,amodb)b=0b≠1
于是设 bx’+(a%b)y’=gcd(b,a%b)
则ax+by=bx’+(a%b)y’
可以推导出x=y’,y=x’-[a/b]*y’
当b=0,a≠0时,gcd(a,b)=a,则x=1,y=0,
由此便可以向上推出ax+by=gcd(a,b)中x,y的值
模板题 poj1061 青蛙的约会
http://poj.org/problem?id=1061
设青蛙的初始坐标分别为A、B,其他的字母与题中一样,设相遇时间为t
则有
A+mt=B+nt(modL)
整理得
(m−n)t+kL=B−A
令a=m-n,b=k,c=B-A,求出ax+by=c的最小正整数解x就行了
注意一个问题,此处求出xx后,如果用while(xx+kb’<0)k++;的话会超时,由于只需要最小正整数解,所以x=(xx%|b’|+|b’|)%|b’|
代码:
在各种题目中,又是让你求答案对xxxxx取模的值,那么这肯定是因为答案太大,无法存储。在NOIP即以下的比赛中,凡是让你取模的题目,都不会涉及除法。
我们知道(a+b)%p=(a%p+b%p)%p,ab%p=(a%p*b%p)%p,但是绝对不能说(a/b)%p=[(a%p)/(b%p)]%p
随便试几组就会发现这样是错误的
这时就要用到逆元
ax≡1(modp)
中x的最小正整数解就是a关于p的逆元,或者说a在模p意义下的数论倒数,记为inv[a]。即是说,(a/b)%p=(a%p*inv)%p
这样就可以在计算过程中边取模边做除法了。
令ax+kp=1
明显当gcd(a,k)≠1时,方程无解,逆元不存在(这里我有点不懂)
否则就用扩展欧几里得求最小正整数x
代码在后面会有
ap−2×a=1(modp)
ap−2=1a(modp)
于是inv[a]=ap−2modp,
注意:要求p必须是质数且a不等于p
ps:实践证明,无论何种求法,当把p本身的逆元设为0时,答案总是正确的
例题:hdu1576 A/B
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576
就是给你A和B,其中A是某个数对9973取模的值,让你求A/B,A和B互质,求出B的逆元,然后输出答案就行了
代码(扩展欧几里得和费马小定理):
inv[i]=inv[Mmodi]×(M−M/i)modM
其中i<M
证明
设
M=ki+b
那么
k=M/i,b=Mmodi
ki+b=0(modM)
ki=−b(modM)
1ki=−1b(modM)
1i=−kb(modM)
即
inv[i]=inv[Mmodi]∗(M−M/i)modM
得证
这种做法也有要求,M必须是质数
例题 bzoj2186 [Sdoi2008]沙拉公主的困惑
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2186
题目详解(我写的):
http://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/50995536
代码再粘一遍:
扩展欧几里得:要求p和a必须互质,时间复杂度O(logpa)
费马小定理+快速幂:要求p必须是质数,时间复杂度O(logp2)
线性求逆元:要求p必须是质数,时间复杂度O(P)
以上可以看出,如果求一个数的逆元,扩展欧几里得是最佳的选择,如果需要N个数的逆元,线性递推式最好的方式,费马小定理+快速幂似乎没什么用武之地
还可以看出,后两种都是要求p是质数的,当p不是质数,但p和a互质时,可以选择扩展欧几里得
例题 CodeVS2301 沙拉公主的困惑
http://codevs.cn/problem/2301/
这道题。。。。乍看好眼熟,你发现最后一句话:“R是一个合数”
这下就不能用线性递推求逆元了,只能把所有素数的逆元用欧几里得求出。
欧几里得算法与逆元
(一)欧几里得与扩展欧几里得
(I)欧几里得辗转相除求gcd
描述
欧几里得辗转相除求最大公因数的表达式如下gcd(a,b)={agcd(b,amodb)b=0b≠1
代码
int gcd(int a,int b) { if(b==0)return a; else return gcd(b, a%b); }
(II)扩展欧几里得
描述
定理:对于任意整数a,b,都存在一组整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)成立于是设 bx’+(a%b)y’=gcd(b,a%b)
则ax+by=bx’+(a%b)y’
可以推导出x=y’,y=x’-[a/b]*y’
当b=0,a≠0时,gcd(a,b)=a,则x=1,y=0,
由此便可以向上推出ax+by=gcd(a,b)中x,y的值
代码
#define ll long long ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if(!b){x=1;y=0;return a;} ll t, d; d=exgcd(b,a%b,x,y); t=x;x=y;y=t-a/b*y; return d; }
求解方程ax+by=c
定理:当且仅当当gcd(a,b)|c时,方程有整数解,设d=gcd(a,b),令a’=a/d,b’=b/dc’=c/d,方程两边同时除以d就得到a’x+b’y=c’,我们可以先用扩展欧几里得求出a’x+b’y=1的一组解x0和y0,再把x0和y0同时乘c’就得到了a’x+b’y=c’的一组解,记为xx和yy,即原方程的一组解。方程的所有解可以表示为x=xx+kb’,y=yy-ka’,其中k∈Z模板题 poj1061 青蛙的约会
http://poj.org/problem?id=1061
设青蛙的初始坐标分别为A、B,其他的字母与题中一样,设相遇时间为t
则有
A+mt=B+nt(modL)
整理得
(m−n)t+kL=B−A
令a=m-n,b=k,c=B-A,求出ax+by=c的最小正整数解x就行了
注意一个问题,此处求出xx后,如果用while(xx+kb’<0)k++;的话会超时,由于只需要最小正整数解,所以x=(xx%|b’|+|b’|)%|b’|
代码:
//poj1061 青蛙的约会 扩展欧几里得 #include <iostream> #define abs(x) (x>0?x:-x) #define ll long long using namespace std; ll m, n, A, B, L; ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if(!b){x=1;y=0;return a;} ll t, d; d=exgcd(b,a%b,x,y); t=x;x=y;y=t-a/b*y; return d; } int main() { ll a, b, c, d, x, y; cin >> A >> B >> m >> n >> L; a=m-n;b=L;c=B-A; d=exgcd(a,b,x,y); if(c%d!=0){cout<<"Impossible"<<endl;return 0;} exgcd(a/d,b/d,x,y); x*=c/d; x=(x%abs(b/d)+abs(b/d))%abs(b/d); cout << x << endl; return 0; }
(二)逆元
用处
为啥要用逆元?在各种题目中,又是让你求答案对xxxxx取模的值,那么这肯定是因为答案太大,无法存储。在NOIP即以下的比赛中,凡是让你取模的题目,都不会涉及除法。
我们知道(a+b)%p=(a%p+b%p)%p,ab%p=(a%p*b%p)%p,但是绝对不能说(a/b)%p=[(a%p)/(b%p)]%p
随便试几组就会发现这样是错误的
这时就要用到逆元
ax≡1(modp)
中x的最小正整数解就是a关于p的逆元,或者说a在模p意义下的数论倒数,记为inv[a]。即是说,(a/b)%p=(a%p*inv)%p
这样就可以在计算过程中边取模边做除法了。
求法
[b](i)扩展欧几里得
我上面介绍扩展欧几里得就是为了这里用的令ax+kp=1
明显当gcd(a,k)≠1时,方程无解,逆元不存在(这里我有点不懂)
否则就用扩展欧几里得求最小正整数x
代码在后面会有
(ii)费马小定理
费马小定理:当p为素数且a≠p时,有ap−1modp=1,继续推导ap−2×a=1(modp)
ap−2=1a(modp)
于是inv[a]=ap−2modp,
注意:要求p必须是质数且a不等于p
ps:实践证明,无论何种求法,当把p本身的逆元设为0时,答案总是正确的
例题:hdu1576 A/B
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576
就是给你A和B,其中A是某个数对9973取模的值,让你求A/B,A和B互质,求出B的逆元,然后输出答案就行了
代码(扩展欧几里得和费马小定理):
//hdu1576 A/B 求逆元 #include <cstdio> using namespace std; int A, B, p=9973,T; //法一:扩展欧几里得 /* void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { int t; if(!b){x=1;y=0;return;} exgcd(b,a%b,x,y); t=x;x=y;y=t-a/b*x; } int inv(int a) { int x, y; exgcd(a,p,x,y); return (x+p)%p; } */ //法二:费玛小定理 int pow(int a, int b) { int t=a, ans; for(t=a,ans=1;b;b>>=1,t=t*t%p)if(b&1)ans=ans*t%p; return ans; } int inv(int a) { return pow(a%p,p-2); } int main() { while(scanf("%d",&T)!=EOF) { while(T--) scanf("%d%d",&A,&B), printf("%d\n",(A*inv(B)%p)); } return 0; }
(iii)线性求逆元
线性求逆元的递推式如下:inv[i]=inv[Mmodi]×(M−M/i)modM
其中i<M
证明
设
M=ki+b
那么
k=M/i,b=Mmodi
ki+b=0(modM)
ki=−b(modM)
1ki=−1b(modM)
1i=−kb(modM)
即
inv[i]=inv[Mmodi]∗(M−M/i)modM
得证
这种做法也有要求,M必须是质数
例题 bzoj2186 [Sdoi2008]沙拉公主的困惑
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2186
题目详解(我写的):
http://blog.csdn.net/fsahfgsadhsakndas/article/details/50995536
代码再粘一遍:
//bzoj2186 sdoi2008沙拉公主的困惑 #include <cstdio> #define ll long long #define maxn 10000000 #define maxk 1000000 using namespace std; ll p[maxk], R, inv[maxn+100], N, M, tot, fac[maxn+100], ans[maxn+100], T; bool no[maxn+100]; void getinv() { int i, m=(R<maxn?R:maxn); inv[1]=1; for(i=2;i<m;i++)inv[i]=(ll)(R-R/i)*inv[R%i]%R; } void shai() { int i, j; for(i=2;i<=maxn+1;i++) { if(!no[i])p[++tot]=i; for(j=1;i*p[j]<=maxn;j++) { no[i*p[j]]=true; if(i%p[j]==0)break; } } } void getfac() { int i; fac[1]=1; for(i=2;i<=maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%R; } void getans() { int i, j; ll t; ans[1]=1; for(i=1;i<=tot;i++) { t=(ll)ans[p[i]-1]*(p[i]-1)%R*inv[p[i]%R]%R; for(j=p[i];j<p[i+1];j++)ans[j]=t; } } int main() { int i; scanf("%d%d",&T,&R); shai(); getinv(); getfac(); getans(); while(T--) { scanf("%d%d",&N,&M); printf("%lld\n",fac *ans[M]%R); } return 0; }
(iv)总结
扩展欧几里得、费马小定理+快速幂、线性求逆元是逆元的三种求法扩展欧几里得:要求p和a必须互质,时间复杂度O(logpa)
费马小定理+快速幂:要求p必须是质数,时间复杂度O(logp2)
线性求逆元:要求p必须是质数,时间复杂度O(P)
以上可以看出,如果求一个数的逆元,扩展欧几里得是最佳的选择,如果需要N个数的逆元,线性递推式最好的方式,费马小定理+快速幂似乎没什么用武之地
还可以看出,后两种都是要求p是质数的,当p不是质数,但p和a互质时,可以选择扩展欧几里得
例题 CodeVS2301 沙拉公主的困惑
http://codevs.cn/problem/2301/
这道题。。。。乍看好眼熟,你发现最后一句话:“R是一个合数”
这下就不能用线性递推求逆元了,只能把所有素数的逆元用欧几里得求出。
//CodeVS2301 沙拉公主的困惑 欧几里得求逆元 #include <cstdio> #define min(a,b) (a<b?a:b) #define ll long long #define maxn 10000000 #define maxk 1000000 using namespace std; ll p[maxk], R, inv[maxn+100], N, M, tot, fac[maxn+100], ans[maxn+100], T; int c; bool no[maxn+100]; void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { int t; if(!b){x=1;y=0;return;} exgcd(b,a%b,x,y); t=x;x=y;y=t-a/b*y; } void getinv() { ll i, x, y, d; for(i=1;i<tot;i++) exgcd(p[i],R,x,y),inv[i]=(x+R)%R; } void shai() { int i, j; for(i=2;i<=maxn+1;i++) { if(!no[i])p[++tot]=i; for(j=1;i*p[j]<=maxn&&j<=tot;j++) { no[i*p[j]]=true; if(i%p[j]==0)break; } } } void getfac() { int i; fac[1]=1; for(i=2;i<=maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%R; } void getans() { int i, j; ll t; ans[1]=1; for(i=1;i<=tot;i++) { t=(ll)ans[p[i]-1]*(p[i]-1)%R*inv[i]%R; for(j=p[i];j<p[i+1];j++)ans[j]=t; } } int main() { int i; scanf("%d%d",&T,&R); shai(); getinv(); getfac(); getans(); while(T--) { scanf("%d%d",&N,&M); printf("%lld\n",fac *ans[M]%R); } return 0; }
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