BZOJ 1036 [ZJOI2008]树的统计——树链剖分

1036: [ZJOI2008]树的统计Count

题目描述

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

输入

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

输出

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

解题思路

这题是裸的树链剖分（邻居zzk告诉我的），然后就学了这个神奇的算法。

树链剖分就是把一棵树分成重边和轻边，然后用数据结构去维护一些边。

把一棵树定树形之后，对于每棵子树，它的节点数最多的儿子被称为重儿子，其余的就是轻儿子。连接重儿子的边叫做重边，连接轻儿子的边便是轻边，一些首尾相接的重边被称为重链。然后我们会发现一些神奇的性质。因为对于任意一棵子树，假设它的节点数为size，那么轻儿子的节点数小于等于size/2，于是任意一个点到根的轻边数不超过log(n)条，重链的个数也必然不超过log(n)条。

然后，嘿嘿嘿……

我们用某种数据结构维护重链(这里用的是线段树)，对于每次 询问/修改 我们只需要走轻边和重链，不断 累计/修改 线段树中对应的值就可以了。效率显然是log^2(n)。

下面附上蒟蒻笔者的代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=30005,maxm=60005;
int n,nxt[maxm],son[maxm],lnk[maxn],tot,w[maxn],fa[maxn],dep[maxn],h[maxn],s[maxn],id[maxn],top[maxn],who[maxn],Q;
struct jz{
int L,R,w,max;
}a[maxn*4];
inline int _read(){
int num=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') num=num*10+ch-48,ch=getchar();
return num*f;
}
inline char _redc(){
char ch=getchar();
while (ch>'Z'||ch<'A') ch=getchar();
return ch;
}
void add(int x,int y){nxt[++tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;son[tot]=y;}
void dfs1(int x){
dep[x]=dep[fa[x]]+1;s[x]=1;
for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])if (son[j]!=fa[x]){
fa[son[j]]=x;dfs1(son[j]);
if (s[son[j]]>s[h[x]]) h[x]=son[j];
s[x]+=s[son[j]];
}
}
void dfs2(int x,int lst){
id[x]=++tot;who[tot]=x;top[x]=lst;
if (h[x]!=0) dfs2(h[x],lst);
for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j]) if (son[j]!=fa[x]&&son[j]!=h[x]) dfs2(son[j],son[j]);
}
void build(int x,int L,int R){
a[x].L=L;a[x].R=R;
if (L==R){a[x].w=a[x].max=w[who[L]];return;}
int mid=L+R>>1;
build(x*2,L,mid);build(x*2+1,mid+1,R);
a[x].w=a[x*2].w+a[x*2+1].w;
a[x].max=max(a[x*2].max,a[x*2+1].max);
}
void change(int x,int w,int y){
if (a[x].L==a[x].R){a[x].w=a[x].max=y;return;}
int mid=a[x].L+a[x].R>>1;
if (w>mid) change(x*2+1,w,y);else change(x*2,w,y);
a[x].w=a[x*2].w+a[x*2+1].w;
a[x].max=max(a[x*2].max,a[x*2+1].max);
}
int Ask_w(int x,int L,int R){
if (L==a[x].L&&R==a[x].R) return a[x].w;
int mid=a[x].L+a[x].R>>1;
if (R<=mid) return Ask_w(x*2,L,R);
else if (L>mid) return Ask_w(x*2+1,L,R);
else return Ask_w(x*2,L,mid)+Ask_w(x*2+1,mid+1,R);
}
int Ask_max(int x,int L,int R){
if (L==a[x].L&&R==a[x].R) return a[x].max;
int mid=a[x].L+a[x].R>>1;
if (R<=mid) return Ask_max(x*2,L,R);
else if (L>mid) return Ask_max(x*2+1,L,R);
else return max(Ask_max(x*2,L,mid),Ask_max(x*2+1,mid+1,R));
}
void work_w(int x,int y){
int num=0;
while (top[x]!=top[y]){
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
num+=Ask_w(1,id[top[x]],id[x]);
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
num+=Ask_w(1,id[x],id[y]);
printf("%d\n",num);
}
void work_max(int x,int y){
int num=-2147483647;
while (top[x]!=top[y]){
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
num=max(num,Ask_max(1,id[top[x]],id[x]));
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
num=max(num,Ask_max(1,id[x],id[y]));
printf("%d\n",num);
}
int main(){
freopen("exam.in","r",stdin);
freopen("exam.out","w",stdout);
n=_read();
for (int i=1;i<n;i++){
int x=_read(),y=_read();
add(x,y);add(y,x);
}
for (int i=1;i<=n;i++) w[i]=_read();
dfs1(1);tot=0;dfs2(1,1);
build(1,1,n);
Q=_read();
while (Q--){
char ch=_redc();int x,y;
if (ch=='C'){x=_read(),y=_read(),change(1,id[x],y);}
else{ch=_redc();x=_read();y=_read();if (ch=='S') work_w(x,y);else work_max(x,y);}
}
return  0;
}