集合划分问题——算法

问题描述：

n个元素的集合{1,2,.,n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下：

{1}，{2}，{3}，{4}}， {{1，2}，{3}，{4}}，

{{1，3}，{2}，{4}}， {{1，4}，{2}，{3}}，

{{2，3}，{1}，{4}}， {{2，4}，{1}，{3}}，

{{3，4}，{1}，{2}}， {{1，2}，{3，4}}，

{{1，3}，{2，4}}， {{1，4}，{2，3}}，

{{1，2，3}，{4}}， {{1，2，4}，{3}}，

{{1，3，4}，{2}}， {{2，3，4}，{1}}，

{{1，2，3，4}}

其中，集合{{1，2，3，4}} 由1个子集组成；集合{{1，2}，{3，4}}，{{1，3}，{2，4}}，{{1，4}，{2，3}}，{{1，2，3}，{4}}，{{1，2，4}，{3}}，{{1，3，4}，{2}}，{{2，3，4}，{1}} 由2个子集组成；集合{{1，2}，{3}，{4}}，{{1，3}，{2}，{4}}，{{1，4}.{2}，{3}}，{{2，3}，{1}，{4}}，{{2，4}，{1}，{3}}，{{3，4}，{1}，{2}} 由3 个子集组成；集合{{1}，{2}，{3}，{4}}
由4个子集组成。
编程任务：

给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个

非空子集组成的集合。
数据输入：

由文件input.txt 提供输入数据。文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。
结果输出:

程序运行结束时，将计算出的不同的由m个非空子集组成的集合数输出到文件output.txt中。

输入文件示例                                        输出文件示例

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解题思路：设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。

F(1,1)=1；

F(2,1)=1,F(2，2)=1;

当有三个元素时：

一个子集的情况：{{1,2,3}}，F(3,1)=1;
两个子集的情况:{{1,2},{3}},{{1,3},{2}},{{2,3},{1}},F(3,2)=F(2,1)+2*F(2,2)=3;
三个子集的情况：{{1}，{2}，{3}}，F(3,3)=1。
当有四个元素时（即将元素4插入到三个元素分类的情况中）：

一个子集的情况：{{1,2,3,4}},F(4,1)=1;
两个子集的情况：{{1,2,3}，{4}}，{{1,2,4}，{3}}，{{1,2}，{3,4}}，{{1,3,4}，{2}}，{{1,3}，{2,4}}，{{2,3,4}，{1}}，{{2,3}，{1,4}}，F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)=7;
三个子集的情况：{{1,2}，{3}，{4}}，{{1,3}，{2}，{4}}，{{2,3}，{1}，{4}}，{{1,4}，{2}，{3}}，{{1}，{2,4}，{3}}，{{1}，{2}，{3,4}}，F(4,3)=F(3,2)+3*F(3,3)=6;
四个子集的情况：{{1},{2},{3},{4}},F(4,4)=1。

可得到递推公式F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)，当m=1或n=m时F(n,m)=1。

#include<iostream>
using namespace std;

int f(int n, int m) {
if (m == 1 || n == m) {
return 1;
}
else {
return  f(n - 1, m - 1) + m*f(n - 1, m);
}
}

int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
printf("%d", f(n, m));
return 0;
}